調和平均は、相対誤差の二乗和を最小化します

調和平均が証明されている参照を探しています

{\bar{x}}^{h} = \frac{n}{\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{x_{i}}}

$\bar{x}^h = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}}$

相対誤差の二乗和を最小化（ $z$ ）

\sum_{i = 1}^{n} (\frac{(x_{i} - z)^{2}}{x_{i}}) .

$\sum_{i=1}^n \left( \frac{(x_i - z)^2}{x_i}\right).$

— マーティン・ファン・デル・リンデン
ソース

回答:

なぜ参照が必要なのですか？これは単純な微積分問題です。問題を定式化すると、理にかなっているため、すべてのと仮定する必要があり $x_i > 0$ 。次に、関数定義します次にに関して導関数を計算する：

f (z) = \sum_{i = 1}^{n} \frac{(x_{i} - z)^{2}}{x_{i}}

$f(z) = \sum_{i=1}^n \frac{(x_i - z)^2}{x_i}$

z

$z$

次に方程式

を解くと解が得られます。今、もちろん、我々は、これが実際に最小であることを確認する必要があり、その計算のための二次導関数：

f^{'} (z) = - 2 \cdot \sum_{i = 1}^{n} (1 - \frac{z}{x_{i}})

$f'(z) = -2\cdot \sum_{i=1}^n (1-\frac{z}{x_i})$

f^{'} (z) = 0

$f'(z)=0$

最後に使用した最後の不等式では

であり、最後にすべての

です。その仮定がなければ、最大値を見つけたというリスクを実際に負う可能性があります。

f^{″} (z) = - 2 \cdot \sum_{i = 1}^{n} (0 - \frac{1}{x_{i}}) = 2 \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{x_{i}} > 0

$f''(z) = -2 \cdot \sum_{i=1}^n (0-\frac1{x_i}) = 2 \sum_{i=1}^n \frac1{x_i} > 0$

x_{i} > 0

$x_i>0$

参照については、https：//en.wikipedia.org/wiki/Fr%C3%A9chet_mean またはhttps://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_mean またはその参照を参照してください。

— kjetil b halvorsen
ソース

ご回答有難うございます。参照することでスペースを節約できます。補題の自己完結型の証明を含める必要なく、補題としての結果を別の証明に引用したいと思います。

— マーティンヴァンデルリンデン

明示的な参照を見つけることは難しく、それにふさわしいと思われる基本的なものです！証明が基本的な微積分の練習であると言うことはできませんか？

— kjetil bハルヴォルセン

基本的なことですが、私は常にリファレンスを提供することを好みます。しかし、基本的な結果は参考文献を見つけるのが難しいことを理解しており、読者に証拠を残すことは明らかに選択肢です。

— マーティンヴァンデルリンデン

一時的なトピック外のping：stats.stackexchange.com/tags/spearman-rho/synonymsのスピアマン->スピアマン-rhoシノニムの投票を検討してください。ありがとう

— アメーバは、Reinstate Monica

$1/x_i$

$\beta$

\sum ω_{i} (y_{i} - β)^{2} .

$\sum \omega_i (y_i - \beta)^2.$

X = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ ⋮ \\ 1 \end{matrix})

$X = \pmatrix{1\\1\\\vdots\\1}$

W = (\begin{matrix} ω_{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & ω_{2} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & 0 \\ 0 & \dots & 0 & ω_{n} \end{matrix}) .

$W = \pmatrix{\omega_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \omega_2 & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \omega_n}.$

$x_i$ $y_i$ $\beta$ $z$ $\omega_i=1/x_i$ $0$

\hat{β} = (X^{'} W X)^{- 1} X^{'} W y = \frac{\sum_{i} x_{i} ω_{i}}{\sum_{i} ω_{i}} = \frac{\sum_{i} x_{i} / x_{i}}{\sum_{i} 1 / x_{i}} = \frac{n}{\sum 1 / x_{i}},

$\hat\beta = (X^\prime W X)^{-1}X^\prime W y = \frac{\sum_i x_i\omega_i }{\sum_i \omega_i} = \frac{\sum_i x_i/x_i }{\sum_i 1/x_i} = \frac{n}{\sum 1/x_i},$

QED。

同じ分析が任意の正の重みセットに適用され、調和平均の一般化とそれを特徴付ける便利な方法を提供します。
$x_i$
$x_i$ $W$

参照

ダグラスC.モンゴメリー、エリザベスA.ペック、およびG.ジェフリーバイニング、線形回帰分析入門。 第5版。J.ワイリー、2012年。セクション5.5.2。

— ウーバー
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