比率の信頼区間を計算する方法は？

0と1の間の比率を出力する実験を考えてみましょう$X_i$。この比率がどのように取得されるかは、このコンテキストでは関係ありません。それはこの質問の前のバージョンで詳しく説明されましたが、メタに関する議論の後に明確にするために取り除かれました。

この実験は回繰り返されますが、nは小さい（約3〜10）。Xは、私が独立同一分布すると仮定されます。これらから、我々は平均算出して平均値を推定¯ Xが、どのように対応する信頼区間計算するには、[ U 、Vを]？$n$$n$$X_i$$\overline X$$[U,V]$

信頼区間を計算するための標準的なアプローチを使用する場合、は1より大きい場合があります。しかし、私の直感では、正しい信頼区間は...$V$

1. ... 0〜1の範囲内である必要があります
2. ... nを増やすと小さくなります$n$
3. ...はおおよそ標準的なアプローチを使用して計算されたものの順です
4. ...数学的に適切な方法で計算されます

これらは絶対的な要件ではありませんが、少なくとも私の直感が間違っている理由を理解したいと思います。

既存の回答に基づいた計算

以下では、既存の回答から得られた信頼区間のために比較される。$\{X_i\} = \{0.985,0.986,0.935,0.890,0.999\}$

標準アプローチ（別名「学校数学」）

、σ2=0.0204は、従って、99％信頼区間である[0.865、1.053]。これは直感1と矛盾します。$\overline X = 0.959$$\sigma^2 = 0.0204$$[0.865,1.053]$

切り取り（コメントで@soakleyが提案）

ただ、提供その後、標準的なアプローチを使用して結果としては、やることは容易です。しかし、それを行うことは許可されていますか？下限が一定のままであるとはまだ確信していません（-> 4）$[0.865,1.000]$

ロジスティック回帰モデル（@Rose Hartmanにより提案）

変換されたデータ： で得られた[ 0.173 、7.87 ]、で結果をバック変換[ 0.543 、0.999を]。明らかに、6.90は変換されたデータの外れ値であり、0.99は変換されていないデータの外れ値であり、非常に大きな信頼区間になります。（-> 3.）$\{4.18,4.25,2.09,2.66,6.90\}$$[0.173,7.87]$$[0.543,0.999]$

二項比例信頼区間（@Timで推奨）

アプローチは非常に良いように見えますが、残念ながら実験には適合しません。結果を組み合わせて、@ ZahavaKorで示唆されているように、ベルヌーイの大規模な繰り返し実験として解釈すると、次のようになります。

5のうち 4795 *合計 1000 これをAdjにフィードします。ワルドの計算はできます [ 0.9511 、0.9657 ]。単一の X iがその間隔内にないため、これは現実的ではないようです！（-> 3.）$985+986+890+935+999 = 4795$$5*1000$$[0.9511,0.9657]$$X_i$

ブートストラップ（@soakleyが推奨）

では私たちは、3125個の可能な順列を持っています。3093を取る$n=5$順列の真ん中の手段、我々が得る[0.91、0.99]。それほど悪くはないように見えますが、もっと長い間隔（-> 3）を期待しています。ただし、それは構造ごとではなく、$\frac{3093}{3125} = 0.99$$[0.91,0.99]$。したがって、小さなサンプルの場合、 nを増やすと縮小するよりも大きくなります（-> 2.）。これは、少なくとも上記のサンプルで発生することです。$[min(X_i),max(X_i)]$$n$

最初に、明確にするために、あなたの質問が示唆するように、あなたが扱っているものは二項分布ではありません（ベルヌーイの実験と呼びます）。二項分布は離散的です。結果は成功または失敗のいずれかです。結果は、実験を実行するたびの比率であり、1つの要約比率を計算する成功と失敗のセットではありません。そのため、二項比例信頼区間を計算する方法では、多くの情報が失われます。それでも、変数の可能な範囲を超えて拡張するCIを取得できるため、これを通常の分布として扱うのは問題だということは正しいです。

ロジスティック回帰の観点からこれについて考えることをお勧めします。結果として比率変数を使用し、予測変数を使用せずにロジスティック回帰モデルを実行します。インターセプトとそのCIは、ロジットで必要なものを提供します。その後、プロポーションに戻すことができます。ロジスティック変換を自分で行い、CIを計算してから元のスケールに戻すこともできます。私のPythonはひどいですが、Rでそれを行う方法は次のとおりです：

set.seed(24601)
data <- rbeta(100, 10, 3)
hist(data)

data_logits <- log(data/(1-data)) 
hist(data_logits)

# calculate CI for the transformed data
mean_logits <- mean(data_logits)
sd <- sd(data_logits)
n <- length(data_logits)
crit_t99 <- qt(.995, df = n-1) # for a CI99
ci_lo_logits <- mean_logits - crit_t * sd/sqrt(n)
ci_hi_logits <- mean_logits + crit_t * sd/sqrt(n)

# convert back to ratio
mean <- exp(mean_logits)/(1 + exp(mean_logits))
ci_lo <- exp(ci_lo_logits)/(1 + exp(ci_lo_logits))
ci_hi <- exp(ci_hi_logits)/(1 + exp(ci_hi_logits))

これらのデータの99％CIの下限と上限は次のとおりです。

> ci_lo
[1] 0.7738327
> ci_hi
[1] 0.8207924

リサンプリング/ブートストラップを試してください。あなたが言及した簡単なケースを見てみましょう。

0.99、0.94、および0.94の3つのデータポイントでは、27の可能な順列すべてをリストし、それぞれの場合に平均値を見つけてから平均値を並べ替えることができるため、リサンプリングすらしません。

$25/27=$$26/27=$

私はあなたを仮定します $n$

ここでの質問：置換テストのパラメーターの信頼区間を作成する方法は？いくつかのRコードを含む詳細を提供します。

二項信頼区間は、長い間統計学者の議論の主題でした。あなたの問題は100％未満の割合であると考えていますが、100％を使用するとさらに問題になります。質問をするための洞察に満ちた方法は次のとおりです。

過去2,000年間、毎日太陽が確実に昇ってきたとすると、明日は太陽が昇る確率はどのくらいでしょうか？

$p=1$

これらのテールを計算する方法はいくつかあります。Wikipediaで数学をチェックすることをお勧めします。答えを知りたい場合は、このような二項間隔計算機を検索することをお勧めします（たまたまその数学の詳細な説明もあります）。

ベイジアンアプローチ：

$B$$B$の密度は、希望する「自信」に統合されます。複数の解決策が存在する可能性があり、以前の状況によっては、平均比率が間隔内にない場合があります。