2つの独立したベルヌーイ母集団からのサンプリング分布

2つの独立したベルヌーイ確率変数のサンプル、およびます。 $\mathrm{Ber}(\theta_1)$ $\mathrm{Ber}(\theta_2)$

どうやっていることを証明しない？

\frac{({\bar{X}}_{1} - {\bar{X}}_{2}) - (θ_{1} - θ_{2})}{\sqrt{\frac{θ_{1} (1 - θ_{1})}{n_{1}} + \frac{θ_{2} (1 - θ_{2})}{n_{2}}}} \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\frac{(\bar X_1-\bar X_2)-(\theta_1-\theta_2)}{\sqrt{\frac{\theta_1(1-\theta_1)}{n_1}+\frac{\theta_2(1-\theta_2)}{n_2}}}\xrightarrow{d} \mathcal N(0,1)$

と仮定します。 $n_1\neq n_2$

distributions sampling bernoulli-distribution

— 海の老人。
ソース

Z_i = X_1i-X_2iは、有限平均と分散のiid rvのシーケンスです。したがって、これは、結果の元となるLevy-Linderbergの中心極限定理を満たします。それとも、clt自体の証拠を求めていますか？

— スリーディアグ

@ThreeDiag LLバージョンのCLTをどのように適用していますか？私はそれが正しいとは思わない。答えを書いて詳細を確認してください。

— 海の老人。

すべての詳細はすでにそこにあります。LLを適用するには、平均と分散が有限のiid rvのシーケンスが必要です。変数Z_i = X_i1およびX_i2は、3つの要件をすべて満たしています。2つの元のベルヌーイ変数の独立から独立し、EとVの標準プロパティを適用することでE（Z_i）とV（Z_i）が有限であることを確認できます

— Three Diag

「2つの独立したベルヌーイ確率変数のサンプル」-誤った表現。「ベルヌーイ分布からの2つの独立したサンプル」でなければなりません。

— ビクトール

「」として追加してください。

n_{1}, n_{2} \to \infty

$n_1,n_2\to \infty$

— ビクトル

回答:

置く、、、。我々は持っている。特性関数に関しては、我々は証明したい $a=\frac{\sqrt{\theta_1(1-\theta_1)}}{\sqrt{n_1}}$ $b=\frac{\sqrt{\theta_2(1-\theta_2)}}{\sqrt{n_2}}$ $A=(\bar{X}_1-\theta_1)/a$ $B=(\bar{X}_2-\theta_2)/b$ $A\to_d N(0,1),\ B\to_d N(0,1)$

ϕ_{A} (t) \equiv E e^{i t A} \to e^{- t^{2} / 2}, ϕ_{B} (t) \to e^{- t^{2} / 2} .

$\phi_A(t)\equiv {\bf E}e^{itA}\to e^{-t^2/2},\ \phi_B(t)\to e^{-t^2/2}.$

D := \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} A - \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} B \to_{d} N (0, 1)

$D:=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}A-\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}B\to_d N(0,1)$

以来、および独立している、。 $A$ $B$

ϕ_{D} (t) = ϕ_{A} (\frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} t) ϕ_{B} (- \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} t) \to e^{- t^{2} / 2},

$\phi_D(t)=\phi_A\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}t\right)\phi_B\left(-\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}t\right)\to e^{-t^2/2},$

この証明は不完全です。ここで、特性関数の均一な収束のためのいくつかの推定値が必要です。ただし、検討中のケースでは、明示的な計算を行うことができます。入れ。 as。したがって、固定場合、 $p=\theta_1,\ m=n_1$

\begin{aligned} ϕ_{X_{1, 1}} (t) & = 1 + p (e^{i t} - 1), \\ ϕ_{{\bar{X}}_{1}} (t) & = (1 + p (e^{i t / m} - 1))^{m}, \\ ϕ_{{\bar{X}}_{1} - θ_{1}} (t) & = (1 + p (e^{i t / m} - 1))^{m} e^{- i p t}, \\ ϕ_{A} (t) & = (1 + p (e^{i t / \sqrt{m p (1 - p)}} - 1))^{m} e^{- i p t \sqrt{m} / \sqrt{p (1 - p)}} \\ = {((1 + p (e^{i t / \sqrt{m p (1 - p)}} - 1)) e^{- i p t / \sqrt{m p (1 - p)}})}^{m} \\ = {(1 - \frac{t^{2}}{2 m} + O (t^{3} m^{- 3 / 2}))}^{m} \end{aligned}

$\begin{align} \phi_{X_{1,1}}(t) &= 1+p(e^{it}-1), \\ \phi_{\bar X_{1}}(t) &= (1+p(e^{it/m}-1))^m, \\ \phi_{\bar X_{1}-\theta_1}(t) &= (1+p(e^{it/m}-1))^m e^{-ipt}, \\ \phi_{A}(t) &= (1+p(e^{it/\sqrt{mp(1-p)}}-1))^m e^{-ipt\sqrt{m}/\sqrt{p(1-p)}} \\[5pt] &= \left( \left(1+p(e^{it/\sqrt{mp(1-p)}}-1)\right)e^{-ipt/\sqrt{mp(1-p)}}\right)^m \\[5pt] &=\left( 1-\frac{t^2}{2m}+O(t^3m^{-3/2}) \right)^m \end{align}$

t^{3} m^{- 3 / 2} \to 0

$t^3m^{-3/2}\to 0$

t

$t$

ϕ_{D} (t) = {(1 - \frac{a^{2} t^{2}}{2 (a^{2} + b^{2}) n_{1}} + O (n_{1}^{- 3 / 2}))}^{n_{1}} {(1 - \frac{b^{2} t^{2}}{2 (a^{2} + b^{2}) n_{2}} + O (n_{2}^{- 3 / 2}))}^{n_{2}} \to e^{- t^{2} / 2}

$\phi_D(t)=\left( 1-\frac{a^2t^2}{2(a^2+b^2)n_1}+O(n_1^{-3/2}) \right)^{n_1} \left( 1-\frac{b^2t^2}{2(a^2+b^2)n_2}+O(n_2^{-3/2}) \right)^{n_2} \to e^{-t^2/2}$ （または）、なぜなら when（/math/2566469/uniform-bounds-for-1-y-nn-exp-y/を参照））。

a \to 0

$a\to 0$

b \to 0

$b\to 0$

| e^{- y} - (1 - y / m)^{m} | \leq y^{2} / 2 m

$\left|e^{-y}-(1-y/m)^m\right|\le {y^2}/{2m}\$

y / m < 1 / 2

$\ y/m<1/2$

同様の計算が、最初の2つのモーメントに関する特性関数の展開を使用して、有限の2次モーメントを持つ任意の（必ずしもベルヌーイである必要はない）分布に対して行われることに注意してください。

— ヴィクトル
ソース

これは正しいようです。後で、すべてを確認する時間があるときにお返事します。;）

— 海の老人。

-1

あなたの声明を証明することは、（レヴィ・リンデンベルク）中央極限定理

場合 IIDランダム有限の平均値を持つ変数の配列である有限分散その後 $\{Z_i\}_{i=1}^n$ $\mathbb{E}(Z_i) = \mu$ $\mathbb{V}(Z_i) = \sigma^2$

\sqrt{n} (\bar{Z} - μ) \to^{d} N (0, σ^{2})

$\sqrt{n}(\bar{Z} - \mu) \to^d N(0,\sigma^2)$

ここではサンプル分散です。 $\bar{Z} = \sum_i Z_i/n$

すると、それを置くと簡単にわかります

Z_{i} = X_{1} i - X_{2} i

$Z_i = X_1i - X_2i$ と以下及び特に定理が成立しているため、それぞれの条件、

X_{1 i}, X_{2 i}

$X_{1i}, X_{2i}$

B e r (θ_{1})

$Ber(\theta_1)$

B e r (θ_{2})

$Ber(\theta_2)$

E (Z_{i}) = θ_{1} - θ_{2} = μ

$\mathbb{E}(Z_i) = \theta_1 - \theta_2 = \mu$

そして

V (Z_{i}) = θ_{1} (1 - θ_{1}) + θ_{2} (1 - θ_{2}) = σ^{2}

$\mathbb{V}(Z_i)= \theta_1(1-\theta_1) +\theta_2(1-\theta_2)= \sigma^2$

（最後のパッセージがあり、が、今すぐ行かなければならない、明日終了するか、演習として最終パッセージで質問を編集できる一般的な場合に合わせて、これを少し調整する必要があります） $n_1 \neq n_2$

— スリーディアグ
ソース

n_{1} \neq n_{2}

$n_1\neq n_2$

— 海の老人

取得できない場合は後で表示します。ヒント：Zのサンプル平均の分散を計算し、それを定理の変数として使用します

— Three Diag

3、詳細を追加してますか？ありがとう

n_{1} \neq n_{2}

$n_1 \neq n_2$

— 海の老人。

少しの時間を見つけ次第行います。実際には、調整なしでLL cltを使用できないようにする微妙な点がありました。3つの方法がありますが、最も単純な方法は、n1とn2が大きい場合、X1とX2が正規分布になり、正規の線形結合も正規になるという事実を呼び出します。これは、与えられたように取ることができる法線の特性です。そうでなければ、特性関数によってそれを証明することができます。

— 三つのダイアグ

他の2つは、異なるclt（おそらくリアプノフ）を必要とするか、n1 = iとn2 = i + kを処理します。その後、大規模なiの場合、基本的にkを無視し、LLを適用するために戻ることができます（ただし、適切な差異を

— 特定