カーネル近似のNystroemメソッド

低ランクのカーネル近似のためのNyströmメソッドについて読んでいます。この方法は、データサンプルをカーネル機能マッピングの低ランクの近似に投影する方法として、scikit-learn [1]に実装されています。

私の知る限り、トレーニングセットとカーネル関数を指定すると、と SVDを適用することにより、カーネル行列低ランクの近似が生成されます。 $\{x_i\}_{i=1}^n$ $n \times n$ $K$ $W$ $C$

、 $K = \left [ \begin{array}{cc} W & K_{21}^T \\ K_{21} & K_{22} \end{array} \right ]$ $C = \left [\begin{array}{cc} W \\ K_{21} \end{array}\right ]$ $W \in \mathbb{R}^{l\times l}$

ただし、カーネルマトリックスの低ランクの近似を使用して、新しいサンプルを近似カーネル機能空間に投影する方法がわかりません。私が見つけた論文（たとえば[2]）は、教訓がほとんどないため、あまり役に立ちません。

また、トレーニング段階とテスト段階の両方で、この方法の計算の複雑さに興味があります。

[1] http://scikit-learn.org/stable/modules/kernel_approximation.html#nystroem-kernel-approx

[2] http://www.jmlr.org/papers/volume13/kumar12a/kumar12a.pdf

— ダニエル・ロペス
ソース

質問への回答をより明確にするような方法で、ニストロム近似を導き出しましょう。

Nyströmの主要な仮定は、カーネル関数が階級でです。（実際には、ランクとほぼ同じであると想定していますが、簡単にするために、今のは正確にランクであるとしましょう。）つまり、カーネル行列は最大で、特に $m$ $m$ $m$ $m$ はランクです。したがって、あるの非ゼロ固有値は、我々は、の固有値分解書くことができるようにに記憶された固有ベクトルで形状で、、及び固有値に配置、対角行列。

K = [\begin{matrix} k (x_{1}, x_{1}) & \dots & k (x_{1}, x_{n}) \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ k (x_{n}, x_{1}) & \dots & k (x_{n}, x_{n}) \end{matrix}],

$K = \begin{bmatrix} k(x_1, x_1) & \dots & k(x_1, x_n) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ k(x_n, x_1) & \dots & k(x_n, x_n) \end{bmatrix} ,$

m

$m$

m

$m$

K

$K$

K = U Λ U^{T}

$K = U \Lambda U^T$

U

$U$

n \times m

$n \times m$

Λ

$\Lambda$

m \times m

$m \times m$

$m$ $K_{11}$

K = [\begin{matrix} K_{11} & K_{21}^{T} \\ K_{21} & K_{22} \end{matrix}],

$K = \begin{bmatrix} K_{11} & K_{21}^T \\ K_{21} & K_{22} \end{bmatrix} ,$

K_{11}

$K_{11}$

m \times m

$m \times m$

K_{21}

$K_{21}$

(n - m) \times m

$(n-m) \times m$

K_{22}

$K_{22}$

\begin{aligned} K & = U Λ U^{T} \\ = [\begin{matrix} U_{1} \\ U_{2} \end{matrix}] Λ {[\begin{matrix} U_{1} \\ U_{2} \end{matrix}]}^{T} \\ = [\begin{matrix} U_{1} Λ U_{1}^{T} & U_{1} Λ U_{2}^{T} \\ U_{2} Λ U_{1}^{T} & U_{2} Λ U_{2}^{T} \end{matrix}], \end{aligned}

$\begin{align} K &= U \Lambda U^T \\&= \begin{bmatrix}U_1 \\ U_2\end{bmatrix} \Lambda \begin{bmatrix}U_1 \\ U_2\end{bmatrix}^T \\&= \begin{bmatrix} U_1 \Lambda U_1^T & U_1 \Lambda U_2^T \\ U_2 \Lambda U_1^T & U_2 \Lambda U_2^T \end{bmatrix} ,\end{align}$

U_{1}

$U_1$

m \times m

$m \times m$

U_{2}

$U_2$

(n - m) \times m

$(n-m) \times m$

K_{11} = U_{1} Λ U_{1}^{T}

$K_{11} = U_1 \Lambda U_1^T$

U_{1}

$U_1$

Λ

$\Lambda$

K_{11}

$K_{11}$

$K_{21} = U_2 \Lambda U_1^T$ $U_2$ $(\Lambda U_1^T)^{-1} = U_1 \Lambda^{-1}$

U_{2} = K_{21} U_{1} Λ^{- 1} .

$U_2 = K_{21} U_1 \Lambda^{-1} .$

K_{22}

$K_{22}$

\begin{aligned} K_{22} & = U_{2} Λ U_{2}^{T} \\ = (K_{21} U_{1} Λ^{- 1}) Λ {(K_{21} U_{1} Λ^{- 1})}^{T} \\ = K_{21} U_{1} (Λ^{- 1} Λ) Λ^{- 1} U_{1}^{T} K_{21}^{T} \\ = K_{21} U_{1} Λ^{- 1} U_{1}^{T} K_{21}^{T} \\ (*) & = K_{21} K_{11}^{- 1} K_{21}^{T} \\ (**) & = (K_{21} K_{11}^{- \frac{1}{2}}) {(K_{21} K_{11}^{- \frac{1}{2}})}^{T} . \end{aligned}

$\begin{align} K_{22} &= U_2 \Lambda U_2^T \\&= \left(K_{21} U_1 \Lambda^{-1}\right) \Lambda \left(K_{21} U_1 \Lambda^{-1}\right)^T \\&= K_{21} U_1 (\Lambda^{-1} \Lambda) \Lambda^{-1} U_1^T K_{21}^T \\&= K_{21} U_1 \Lambda^{-1} U_1^T K_{21}^T \\&= K_{21} K_{11}^{-1} K_{21}^T \tag{*} \\&= \left( K_{21} K_{11}^{-\frac12} \right) \left( K_{21} K_{11}^{-\frac12} \right)^T \tag{**} .\end{align}$

$K_{22}$

$K_{21} K_{11}^{-\frac12}$ $(n-m) \times m$ $K_{11}^{\frac12}$ $m$ $m$

Φ = [\begin{matrix} K_{11}^{\frac{1}{2}} \\ K_{21} K_{11}^{- \frac{1}{2}} \end{matrix}] .

$\Phi = \begin{bmatrix} K_{11}^{\frac12} \\ K_{21} K_{11}^{-\frac12} \end{bmatrix} .$

Φ

$\Phi$

\begin{aligned} Φ Φ^{T} & = [\begin{matrix} K_{11}^{\frac{1}{2}} \\ K_{21} K_{11}^{- \frac{1}{2}} \end{matrix}] {[\begin{matrix} K_{11}^{\frac{1}{2}} \\ K_{21} K_{11}^{- \frac{1}{2}} \end{matrix}]}^{T} \\ = [\begin{matrix} K_{11}^{\frac{1}{2}} K_{11}^{\frac{1}{2}} & K_{11}^{\frac{1}{2}} K_{11}^{- \frac{1}{2}} K_{21}^{T} \\ K_{21} K_{11}^{- \frac{1}{2}} K_{11}^{\frac{1}{2}} & K_{21} K_{11}^{- \frac{1}{2}} K_{11}^{- \frac{1}{2}} K_{21}^{T} \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} K_{11} & K_{21}^{T} \\ K_{21} & K_{21} K_{11}^{- 1} K_{21}^{T} \end{matrix}] \\ = K . \end{aligned}

$\begin{align} \Phi \Phi^T &= \begin{bmatrix} K_{11}^{\frac12} \\ K_{21} K_{11}^{-\frac12} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} K_{11}^{\frac12} \\ K_{21} K_{11}^{-\frac12} \end{bmatrix}^T \\&=\begin{bmatrix} K_{11}^{\frac12} K_{11}^{\frac12} & K_{11}^{\frac12} K_{11}^{-\frac12} K_{21}^T \\ K_{21} K_{11}^{-\frac12} K_{11}^{\frac12} & K_{21} K_{11}^{-\frac12} K_{11}^{-\frac12} K_{21}^T \end{bmatrix} \\&=\begin{bmatrix} K_{11} & K_{21}^T \\ K_{21} & K_{21} K_{11}^{-1} K_{21}^T \end{bmatrix} \\&= K .\end{align}$

$m$ $\Phi$ $K$

$x$ $\Phi$

ϕ (x) = [\begin{matrix} k (x, x_{1}) & \dots & k (x, x_{m}) \end{matrix}] K_{11}^{- \frac{1}{2}} .

$\phi(x) = \begin{bmatrix} k(x, x_1) & \dots & k(x, x_m) \end{bmatrix} K_{11}^{-\frac12} .$

x

$x$

[\begin{matrix} k (x, x_{1}) & \dots & k (x, x_{m}) \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} k(x, x_1) & \dots & k(x, x_m) \end{bmatrix}$

K_{21}

$K_{21}$

K_{21} K_{11}^{- \frac{1}{2}}

$K_{21} K_{11}^{-\frac12}$

ϕ (x)

$\phi(x)$

K_{11}

$K_{11}$

K_{11} K_{11}^{- \frac{1}{2}} = K_{11}^{\frac{1}{2}}

$K_{11} K_{11}^{-\frac12} = K_{11}^{\frac12}$

Φ

$\Phi$

x_{new}

$x_\text{new}$

Φ_{test} = K_{test, 1} K_{11}^{- \frac{1}{2}} .

$\Phi_\text{test} = K_{\text{test},1} K_{11}^{-\frac12} .$

m

$m$

[\begin{matrix} K_{train} & K_{train,test} \\ K_{test,train} & K_{test} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}K_{\text{train}} & K_{\text{train,test}} \\ K_{\text{test,train}} & K_{\text{test}} \end{bmatrix}$

m

$m$

K_{test}

$K_\text{test}$

K_{22}

$K_{22}$

上記では、カーネル行列

は正確にランク

であると仮定しました。通常、これは当てはまりません。ガウスカーネルのために、例えば、

あり、常にランク

、ために起こっているので、後者の固有値は、通常、かなり迅速に落ちる近いランクの行列

、および当社の再建

または

行っていますされるように近くに真の値が、まったく同じではありません。彼らは、より良い再建近いの固有空間になるだろう

のものになります

K

$K$

m

$m$

K

$K$

n

$n$

m

$m$

K_{21}

$K_{21}$

K_{test, 1}

$K_{\text{test},1}$

K_{11}

$K_{11}$

全体。これは、正しい

ポイントを選択することが実際に重要な理由です。

K

$K$

m

$m$

また、にゼロの固有値がある場合、逆行列を疑似逆行列に置き換えても、すべてが機能することに注意してください。あなただけの置き換えと復興に。 $K_{11}$ $K_{21}$ $K_{21} K_{11}^\dagger K_{11}$

$K$ $\max(\lambda_i, 10^{-12})$

— ドゥガル
ソース

A

$A$

U Λ U^{T}

$U \Lambda U^T$

A

$A$

U Σ V^{T}

$U \Sigma V^T$

A^{- \frac{1}{2}} = V Σ^{- \frac{1}{2}} V^{T}

$A^{-\frac12} = V \Sigma^{-\frac12} V^T$

A

$A$

A V Σ^{- \frac{1}{2}} V^{T} = U Σ V^{T} V Σ^{- \frac{1}{2}} V^{T} = U Σ^{\frac{1}{2}} V^{T} = A^{\frac{1}{2}}

$A V \Sigma^{-\frac12} V^T = U \Sigma V^T V \Sigma^{-\frac12} V^T = U \Sigma^{\frac12} V^T = A^{\frac12}$

U Σ^{- \frac{1}{2}} V^{T} = K^{- \frac{1}{2}}

$U \Sigma^{-\frac12} V^T = K^{-\frac12}$

U \approx V

$U \approx V$

K_{11}

$K_{11}$

U Σ V^{T} V Σ^{- \frac{1}{2}} U^{T} = U Σ^{\frac{1}{2}} U^{T}

$U\Sigma V^T V \Sigma^{-\frac12} U^T = U \Sigma^{\frac12} U^T$

x^{- \frac{1}{2}} = 1 / \sqrt{x}

$x^{-\frac12} = 1 / \sqrt x$

V

$V$

V^{T}

$V^T$

x_{m}

$x_m$

x

$x$

x

$x$

R^{d}

$\mathbb R^d$

x \in X

$x \in \mathcal X$

k : X \times X \to R

$k : \mathcal X \times \mathcal X \to \mathbb R$

ϕ : X \to R^{m}

$\phi : \mathcal X \to \mathbb R^m$

k (x, x_{i})

$k(x, x_i)$

m

$m$