間隔内に少なくとも1つのイベントがあるPoissonプロセスのParadox

LET（単一レートのポアソン過程におけるイベントの数であるの長さの間隔内で）。間隔内で少なくとも1つのイベントが観測されたことがわかっているので、間隔内にさらにイベントがある確率を見つけたいと思います。 $X_T$ $\lambda = 1$ $T$

私の直感は、です。 $\Pr(X_T > 1 \mid X_T > 0) = \Pr(X_T > 0)$

背後にある理論的根拠は

観測されたイベントが間隔の最初から時間あった場合、または開いた間隔で $t$ イベントが発生しなかった確率を計算するだけで十分です：、 $(0, t)$ $(t, T)$ $\Pr(X_T = 1 \mid X_T > 0) = \Pr(X_t = 0) \Pr(X_{T-t} = 0) = e^{-t} e^{t - T} = e^{-T} = \Pr(X_T = 0)$
$\Pr(X_T > 1 \mid X_T > 0) = 1 - \Pr(X_T = 1 \mid X_T > 0) \\ \Pr(X_T > 0) = 1 - \Pr(X_T = 0) .$

しかしながら

\begin{aligned} Pr (X_{T} > 1 ∣ X_{T} > 0) = \frac{Pr (X_{T} > 1, X_{T} > 0)}{Pr (X_{T} > 0)} = \frac{Pr (X_{T} > 1)}{Pr (X_{T} > 0)} \\ = & \frac{1 - Pr (X_{T} \in {1, 0})}{1 - Pr (X_{T} = 0)} = \frac{1 - T e^{- T} - e^{- T}}{1 - e^{- T}}, \end{aligned}

$\begin{align} & \Pr(X_T > 1 \mid X_T > 0) = \frac{\Pr(X_T > 1, X_T > 0)}{\Pr(X_T > 0)} = \frac{\Pr(X_T > 1)}{\Pr(X_T > 0)} \\[10pt] = {} & \frac{1 - \Pr(X_T \in \{1, 0\})}{1 - \Pr(X_T = 0)} = \frac{1 - Te^{-T} - e^{-T}}{1 - e^{-T}} , \end{align}$

IもWolframAlphaも等しいことを証明できません $\Pr(X_T > 0) = 1 - e^{-T}$ 。

両方の結果は真実ではあり得ないので-私の間違いはどこですか？

私がいることがわかります $X_T > 1$ と $X_T > 0$ 大きく依存しています。それは重要ですか？私の直感は、 $X_T > 0$ がサンプリングスペースを狭めるだけであるということです...

[編集＃1]

私はサポートするもう1つの方法を見つけました...両方の結果。

が間隔の最初のイベントの時間である場合（間隔の最初から）、その分布密度はとして与えられます。次に、 $t$ $\operatorname{pdf}(t) = \frac{e^{-t}}{1 - e^{-T}}.$

Pr (X_{T} = 1 ∣ X_{T} > 0) = \int_{0}^{T} pdf (t) Pr (X_{T - t} = 0) d t = \int_{0}^{T} \frac{e^{- t} e^{t - T}}{1 - e^{- T}} d t = T \frac{e^{- T}}{1 - e^{- T}} .

$\Pr(X_T = 1 \mid X_T > 0) = \int_0^T \operatorname{pdf}(t) \Pr(X_{T-t} = 0) \, dt = \int_0^T \frac{e^{-t}e^{t - T}}{1 - e^{-T}} \, dt = T\frac{e^{-T}}{1 - e^{-T}} .$

ただし、同様の手順を均一に分布した（）に対して繰り返し、前のイベントも考慮に入れると、まだ $\operatorname{pdf}(t) = \frac 1 T$ $t$

Pr (X_{T} = 1 ∣ X_{T} > 0) = \int_{0}^{T} pdf (t) Pr (X_{t} = 0) Pr (X_{T - t} = 0) d t = \int_{0}^{T} \frac{e^{- T}}{T} d t = e^{- T} .

$\Pr(X_T = 1 \mid X_T > 0) = \int_0^T \operatorname{pdf}(t) \Pr(X_t = 0) \Pr(X_{T-t} = 0) \, dt = \int_0^T \frac{e^{-T}} T \, dt = e^{-T} .$

[編集＃2]

@comboのコメントによるフォローアップ（最初のアプローチでの条件付けの喪失について）。

なぜコンディショニングが失われるのかわかりません。

長さ間隔を作成し、その中に単一のポアソンプロセスのイベントが少なくとも1つある状況を想像してみてください。ましょう単一ポアソン過程のランダムイベントであり、均一に分布したランダム変数である。次に、は、間隔の先頭から（均一に分散）で、少なくとも1つのイベントを含む長さの間隔です。イベントの独立性から、間隔内にイベントがなくなる確率はですよね。そして、インターバル中に少なくとも1つのイベントがあったと仮定します。 $T$ $Y$ $t$ $(0,~T)$ $(Y~-~t,~Y~-~t~+~T)$ $T$ $t$ $\Pr(X_t == 0)\Pr(X_{T - t} == 0)$

少なくとも1つのイベントを含む長さ間隔がある場合、状況が異なるのはなぜですか？ランダムに選択されたイベントの時間（ ;間隔の最初から）は均一に分布しているため、違いはありません。 $T$ $t$

— アブカイ
ソース

なぜですか？なぜそうなのかはわかりませんが、これがトラブルの原因です。私自身で解決すると、あなたのアプローチ2と同じ答えが得られます。

P (X_{T} = 1 ∣ X_{T} > 0) = P (X_{t} = 0) P (X_{T - t} = 0)

$P(X_T = 1 \mid X_T > 0) = P(X_t = 0)P(X_{T-t} = 0)$

— 2017

@StefanJorgensen私はあなたの意見を理解しています。しかし、それはであるべきではありませんか？

P (X_{t} = 1) P (X_{T - t} = 0) = t e^{- t} e^{- (T - t)} = t e^{- T}

$P(X_t=1)P(X_{T-t}=0) = te^{-t}e^{-(T-t)} = te^{-T}$

— abukaj 2017

@StefanJorgensenが2番目のコメントに答えました。これは、イベントを、間隔を未知数のイベントの2つのサブ間隔に分割するポイントと見なしたためです。

— abukaj 2017

@StefanJorgensenこれは質問に答えるようなものです。時間にイベントがあった場合、またはどちらにもイベントがなかった確率はどれくらいですか。

t

$t$

(0, t)

$(0, t)$

(t, T)

$(t, T)$

— abukaj 2017

方程式は、またはいずれにもイベントがない確率であり、条件付けをまったく表さないことを除いて。これが、実際には条件付けが結果を変える場合に、少なくとも1つのイベントが存在する可能性（条件付けが最初に失われたため）になるという理由です。

P (X_{t} = 0) P (X_{T - t} = 0)

$P(X_t = 0)P(X_{T-t}=0)$

(0, t)

$(0,t)$

(t, T)

$(t,T)$

— 2017

回答:

ようやくそれがわかりました！

@comboのアドバイスによると、「オカレンス」という用語を使用します。

驚いたことに、私の直感の根拠の最初の部分はほぼ正しかった。

観測された発生が間隔の最初から時間あった場合、またはオープン間隔で発生が発生しなかった確率を計算するだけで十分です：。 $t$ $(0, t)$ $(t, T)$ $\Pr(X_T = 1 \mid t) = \Pr(X_t = 0) \Pr(X_{T-t} = 0) = e^{-t} e^{t - T} = e^{-T} = \Pr(X_T = 0)$

違いは、をで、と見なすことができます。ここで、は無限小間隔の長さです。以降、我々が見ることができる点における密度としてのみの間隔内での発生。 $\Pr(X_T = 1 \mid X_T > 0)$ $\Pr(X_T = 1 \mid t)$ $\Pr(X_T = 1 \mid X_{dt} = 1)$ $dt$ $[t - \frac{dt}{2}, t + \frac{dt}{2}]$ $\Pr(X_T = 1, t) = e^{-T} dt$ $\operatorname{pdf}(t) = \Pr(X_T = 1 \mid t)$ $t$ $(0, T)$

の値は不明なので、ます。これまでのところ良好です。区間内に1回だけ発生する無条件の確率はわかっています。ただし、ですることにより、サンプリングスペースの部分は破棄されました。したがって、残りのすべての確率/密度を係数で正規化する必要があります。。 $t$ $\int_0^T \operatorname{pdf}(t) dt = Te^{-T} = \Pr(X_T = 1)$ $X_T > 0$ $e^{-T}$ $\frac{1}{1 - e^{-T}}$

したがって、直感は確率と密度の誤解でした。

— アブカイ
ソース

混乱を避けるための用語の簡単な注記：特定の時間に発生する何かを、サンプルの要素としてのイベントのより厳密な定義との混同を避けるために、「イベント」ではなく「発生」と呼びます。スペース。

ポアソンカウンティングプロセスの定義から始めましょう。してみましょう、時間によって起こる発生回数も。次のプロパティがあります。 $N(t)$ $T$

$N(0) = 0$
$N(T_1), (N(T_2)- N(T_1))$ はに対して独立しています（独立したインクリメントプロパティ） $T_1 < T_2$
長さ任意の区間での出現回数は、パラメーター（ここでは、）のポアソン確率変数です。 $t$ $\lambda t$ $\lambda = 1$

独立したインクリメントプロパティは、あなたをつまずかせるものです-特に厳密な不等式の影響。

時間で発生する場合、ある確率はどれくらいですか？アプローチに従って、プロセスを3つのセグメントに分割しましょう。一部のでは、次のようになります：そして今、確率 $t \in [0,T]$ $N(T) = 1$ $\epsilon < \min\{t, T-t\}$

N (T) = (N (T) - N (t + ϵ)) + (N (t + ϵ) - N (t - ϵ)) + (N (t - ϵ) - N (0))

$N(T) = \left(N(T) - N(t+\epsilon) \right) + \left(N(t+\epsilon) - N(t-\epsilon) \right) + \left(N(t-\epsilon) - N(0)\right)$

\begin{aligned} lim_{ϵ \to 0} P (N (T) = 1 ∣ N (t + ϵ) - N (t - ϵ) = 1) \\ = lim_{ϵ \to 0} P (N (t - ϵ) - N (0) = 0, N (T) - N (t + ϵ) = 0 ∣ N (t + ϵ) - N (t - ϵ) = 1) \end{aligned}

$\begin{align*} &\lim_{\epsilon \to 0} P\left( N(T) = 1 \mid N(t+\epsilon) - N(t-\epsilon) = 1 \right)\\ &=\lim_{\epsilon\to 0} P\left( N(t-\epsilon) - N(0) = 0, N(T) - N(t+\epsilon) = 0 \mid N(t+\epsilon) - N(t-\epsilon) = 1\right) \end{align*}$ これはあなたが書いたものとまったく同じではないことに注意してください。主な違いは2つあります。

間隔はばらばらではないため、はから独立していますが、どちらも独立しています。。 $N(t-\epsilon) - N(0)$ $N(T) - N(t+\epsilon)$ $N(t+\epsilon) - N(t-\epsilon)$
間隔はすべて正の尺度です。あなたのアプローチでは、間隔を3つの部分分割します。問題は、間隔で発生したイベントに条件を付けていることです、測定値はゼロです（これが問題である理由の詳細については、この投稿を参照してください）。 $[0,T]$ $[0,t), [t], (t,T]$ $[t]$

— コンボ
ソース

1. 最後の段落とについて少し混乱しています。サイズ間隔のオーバーラップがあるということですか？2.混乱の影響である可能性がありますが、およびでの発生が与えられた場合：。

ϵ

$\epsilon$

s

$s$

ϵ - s

$\epsilon - s$

lim_{s \to 0} P (N (t - s) - N (0) = 0, N (T) - N (t + s) = 0 ∣ N (t + s) - N (t - s) = 1)

$\lim_{s\to 0} P\left( N(t-s) - N(0) = 0, N(T) - N(t+s) = 0 \mid N(t+s) - N(t-s) = 1\right)$

lim_{s \to 0} P (N (t - s) - N (0) = 0, N (T) - N (t + s) = 0)

$\lim_{s\to 0} P\left( N(t-s) - N(0) = 0, N(T) - N(t+s) = 0\right)$

t

$t$

P (N (t + s) - N (t - s) = 1) = 1

$P\left( N(t+s) - N(t-s) = 1\right) = 1$

— abukaj 2017

それについて申し訳ありませんが、私はそれらが同じであることを意味しましたが、編集中に私のコンピュータが死にました。違いがまさに混乱の原因です。イベントはイベントに依存しません、。（制限ではなく等価）を作成しようとすると、間隔はシングルトンであり、メジャーがゼロのセットを条件としています。

{N (t - ϵ) - N (0) = 0, N (T) - N (t + ϵ) = 0}

$\{N(t-\epsilon)-N(0) = 0, N(T)-N(t+\epsilon) = 0\}$

{N (t + ϵ) - N (t - ϵ) = 1}

$\{N(t+\epsilon)-N(t-\epsilon) = 1\}$

ϵ > 0

$\epsilon > 0$

ϵ = 0

$\epsilon = 0$

— コンボ

さて、依存関係はわかりません。しかし、私はなんとか間違いを見つけました（私の答えを参照してください）-そして、間隔が重要だったため、+ 1となりました。

[t - ϵ, t + ϵ]

$[t - \epsilon, t + \epsilon]$

— abukaj 2017

問題へのアプローチの2つの方法のうち、2番目の方法は適切であるようです。それははるかに厳格で、私には完全に理にかなっています。しかし、私は最初のアプローチを理解するのにもう少し困難があり、これがあなたの間違いの原因であると信じる理由を与えました。

まず、好奇心から、なぜを計算するのですか？以下で使用したのとまったく同じアプローチを考えると、この確率（関連する限り）はと等しくなるはずですこれは、定義上とは等しくありません。。お役に立てれば！ $P(X_{T}=1|X_{T}>0)$ $\frac{Te^{-T}}{1-e^{-T}}$ $e^{-T}$

— フェリックスファンドールン
ソース

私はまだ最初のアプローチで私の間違いを見ることができません。私は、以来、それを計算しています -編集を参照してください。

P (X_{T} > 1 | X_{T} > 0) = 1 - P (X_{T} = 1 | X_{T} > 0)

$P(X_T > 1| X_T > 0) = 1 - P(X_T = 1| X_T > 0)$

— abukaj 2017