移動平均モデルの誤差項

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これは、Box-Jenkins MAモデルに関する基本的な質問です。私が理解しているように、MAモデルは基本的に以前のエラー項に対する時系列値線形回帰です。つまり、観測値は最初に以前の値に対して回帰され、次に1つ以上の値がMAのエラー項として使用されますモデル。 $Y$ $e_t,..., e_{t-n}$ $Y$ $Y_{t-1}, ..., Y_{t-n}$ $Y - \hat{Y}$

しかし、ARIMA（0、0、2）モデルで誤差項はどのように計算されますか？MAモデルが自己回帰部分なしで使用され、したがって推定値がない場合、どのようにしてエラー項を取得できますか？

— ロバート・キューブリック
ソース

1

いいえ、MA（n）モデルの定義を混同していると思います。回帰はの観点からのみであり、その推定ではがデータから推定されます。

e_{t - i}

$e_{t-i}$

e_{t - i}

$e_{t-i}$

— 西安

1

質問の主な問題は、MAモデルは基本的に線形回帰であると言うことです。私たちはエラー用語を観察しないため、これは単に真実ではありません。

— mpiktas

エラー用語は実際には、ここではまたは単にとます。そのため、MAモデルパラメーターの推定値は、部分自己相関関数の繰り返しパターン、つまり残差の動作から導出されます。代わりに、ARパラメーターの推定は、acf（Y）の繰り返しパターンに基づいています。

Y_{t} - \hat{Y_{t}}

$Y_t - \hat{Y_t}$

\hat{Y}

$\hat{Y}$

E (Y | Y_{t, . . ., t - n})

$E(Y|Y_{t,...,t-n})$

Y_{t} - Y_{t - 1}

$Y_t - Y_{t-1}$

Y

$Y$

— ロバートキューブリック

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MAモデルの推定：

100個の時点を持つシリーズを想定し、これが切片のないMA（1）モデルによって特徴付けられるとしましょう。次に、モデルは

y_{t} = ε_{t} - θ ε_{t - 1}, t = 1, 2, \dots, 100 (1)

$y_t=\varepsilon_t-\theta\varepsilon_{t-1},\quad t=1,2,\cdots,100\quad (1)$

ここでのエラー用語は観察されません。だから、これを得るために、ボックス等。時系列分析：予測と制御（第3版）（228ページ）は、エラー項が再帰的に計算されることを示唆しています。

ε_{t} = y_{t} + θ ε_{t - 1}

$\varepsilon_t=y_t+\theta\varepsilon_{t-1}$

したがって、のエラー項は、です。値がわからないと、これを計算できません。したがって、これを取得するには、モデルの初期推定値または予備推定値を計算する必要があります。同書のセクション6.3.2の202ページには、 $t=1$

ε_{1} = y_{1} + θ ε_{0}

$\varepsilon_{1}=y_{1}+\theta\varepsilon_{0}$

θ

$\theta$

MA（）プロセスの最初の自己相関は非ゼロであり、モデルのパラメーターに関して発現のための上記点で、用品に式未知数。 sの予備推定値は、上記の式の推定値をに代入することで取得できます。 $q$ $q$
$ρ_{k} = \frac{- θ_{k} + θ_{1} θ_{k + 1} + θ_{2} θ_{k + 2} + \dots + θ_{q - k} θ_{q}}{1 + θ_{1}^{2} + θ_{2}^{2} + \dots + θ_{q}^{2}} k = 1, 2, \dots, q$ $\rho_k=\displaystyle\frac{-\theta_{k}+\theta_1\theta_{k+1}+\theta_2\theta_{k+2}+\cdots+\theta_{q-k}\theta_q}{1+\theta_1^2+\theta_2^2+\cdots+\theta_q^2}\quad k=1,2,\cdots, q$ $\rho_1,\rho_2\cdots,\rho_q$ $\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_q$ $q$ $q$ $\theta$ $r_k$ $\rho_k$

は推定自己相関であることに注意してください。セクション6.3-パラメータの初期推定値に詳細な説明がありますので、それを読んでください。ここで、初期推定を取得すると仮定します。その後、さて、もう一つの問題は、私たちが値を持っていないですので、 1から始まり、我々はできるようでないコンピュート。幸いなことに、これを取得する方法は2つあります。 $r_k$ $\theta=0.5$

ε_{1} = y_{1} + 0.5 ε_{0}

$\varepsilon_{1}=y_{1}+0.5\varepsilon_{0}$

ε_{0}

$\varepsilon_0$

t

$t$

ε_{1}

$\varepsilon_1$

条件付き尤度
無条件の尤度

Boxらによると セクション7.1.3の227ページで、が中程度または大きい場合、の値を近似値としてゼロに置き換えることができます。この方法は条件付き尤度です。それ以外の場合、無条件尤度が使用されます。この場合、の値は、バック予測によって取得されます。この方法をお勧めします。バック予測の詳細については、セクション7.1.4の231ページをご覧ください。 $\varepsilon_0$ $n$ $\varepsilon_0$

の初期推定値と値を取得した後、最終的にエラー項の再帰的計算に進むことができます。最後の段階は、モデルのパラメーターを推定することです。これはもう予備的な推定ではないことに注意してください。 $\varepsilon_0$ $(1)$

パラメーター推定では、MAモデルはそのパラメーターに対して非線形であるため、非線形推定手順、特にLevenberg-Marquardtアルゴリズムを使用します。 $\theta$

全体として、Boxなどを読むことを強くお勧めします。時系列分析：予測と制御（第3版）。

— アフマドガイドアサード
ソース

とはですか？

r_{k}

$r_k$

— Piyush Divyanakar

4

Gaussian MA（q）モデルは（BoxとJenkinsだけでなく！）ので、MA（q）モデルは「純粋な」エラーモデルであり、次数は相関関係がどこまで戻るかを定義します。

Y_{t} = - \sum_{i = 1}^{q} ϑ_{i} e_{t - i} + σ e_{t}, e_{t} \overset{iid}{\sim} N (0, 1)

$Y_t = -\sum_{i=1}^q \vartheta_i e_{t-i} + \sigma e_t,\quad e_t\stackrel{\text{iid}}{\sim} \mathcal{N}(0,1)$

q

$q$

— 西安
ソース

1

がどこから来たのかはまだわかりません。ある確率変数？私はそうは思わない、さもなければなぜ相関を探すのを悩ますのか

e_{t}

$e_t$

e_{t}

$e_t$

q

$q$

— ロバートキューブリック

1

数式にマイナスがあるのはなぜですか？通常、マイナスはARモデルの場合です。数学的には問題ではありません。MAモデルでマイナスを見たことがないので、興味があります。

— mpiktas

3

@ RobertKubrick、Wold分解定理を知っていますか？各定常プロセスには、対応するイノベーションプロセスがあります。これは、用語由来です。

e_{t}

$e_t$

— mpiktas

1

存在する技術革新のための見通しどこか（があるように持って、誤差項にいくつかの背景を与えるが、私はまだ技術革新プロセスはどこから来るのは明らかではないよ@mpiktasのおかげで、en.wikipedia.org/wiki/Innovation_（ signal_processing））。最適な予測は単に、つまりシリーズの平均ですか？

Y

$Y$

E (Y)

$E(Y)$

— ロバートキューブリック

1

「観測は最初にその以前の値に対して回帰され、次に1つ以上の値がエラー項として使用されますMAモデル。」私が言うことは、は2つの予測子系列およびに対して回帰され、すべてのi = 3,4 ,,,, tに対して相関のないエラープロセスを生成するということです。 2つの回帰係数：の影響示す及びの影響示す。したがって、 $Y$ $Y_{t−1},...,Y_{t−n}$ $Y−\hat{Y}$ $Y$ $e_{t-1}$ $e_{t−2}$ $e_t$ $\theta_1$ $e_{t-1}$ $\theta_2$ $e_{t-2}$ $e_t$ n-2個の値を含むホワイトノイズランダムシリーズです。n-2個の推定可能な関係があるため、e1とe2が0.0に等しいという仮定から始めます。これで、と任意のペアについて、t-2残差値を推定できます。誤差の最小二乗和が得られる組み合わせは、および最適な推定値にます。 $\theta_1$ $\theta_2$ $\theta_1$ $\theta_2$

— IrishStat
ソース

他の2つの予測子シリーズとは何ですか？私が持っている文献を見るとき、それが明確に特定されていないので、私は尋ねています。これら2 つのシリーズはとは無関係ですか？すべてのARIMAの定式化はシリーズに限定されているという印象を受けました。

Y

$Y$

Y

$Y$

— ロバートキューブリック

1

2つの予測子は、誤差項の遅れです。始める前に誤差項がわからないので、これらはアプリオリに知られていないため、これは非線形推定によって処理する必要がある理由です。あなたが抱えている混乱は、過去に有限なモデル（すなわち、AR MODEL）は、エラーが無限にある可能性があり、エラーが有限であるモデル（つまり、MA MODEL）は、Yの過去に潜在的に無限です。ARモデルとMAモデルを選択する理由は、節約のためです。Yの履歴とエラーの履歴の両方をブレンドするARMAモデルを作成する場合があります。

— -IrishStat

1

他の答えでコメントしたように、まだ不足しているのは、イノベーション計算に使用されるの最適な予測です。

Y

$Y$

e_{t - n}

$e_{t-n}$

— ロバートキューブリック

1

私のポストを参照してくださいここで MAシリーズの乱れの用語を理解する方法の説明のために。

それらを推定するには、さまざまな推定手法が必要です。これは、MAプロセスが現在の回帰の残差を使用するため、最初に線形回帰の残差を取得してから、説明変数として時間差残差値を含めることができないためです。この例では、2つの回帰式を作成し、一方から他方への残差を使用しています。これはMAプロセスとは異なります。OLSでは推定できません。

— JoeDanger
ソース