タイプIのエラー率は、アルファまたは最大でアルファですか？

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ウィキペディアのp値のページによると：

p値が正しく計算されると、このテストにより、タイプIのエラー率が最大でことが保証されます。 $\alpha$

ただし、ページのさらに下には、この式が示されています。

$Pr (R e j e c t H | H) = Pr (p \leq α | H) = α$ $\Pr(\mathrm{Reject}\; H|H) = \Pr(p \leq \alpha|H) = \alpha$

「タイプ1エラーレート」= $\Pr(\mathrm{Reject}\; H|H)$ すると、タイプ1エラーレートは $\alpha$ あり、「多くても $\alpha$ 」ではないことがます。そうでない場合、式は次のようになります。

Pr (R e j e c t H | H) \leq α

$\Pr(\mathrm{Reject}\; H|H) \leq \alpha$

私の誤解はどこにありますか？

hypothesis-testing p-value type-i-and-ii-errors

— 卵
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回答:

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「帰無仮説」に複数の自然状態が含まれる場合、実際の偽陽性率（FPR）はその状態によって異なる可能性があります。私たちにできることは、その自然状態がどのようなものであっても、FPRの制限を保証することだけです。しかし、FPRが実際にに等しいことを常に保証できるわけではありません。 $\alpha$

（FPRが実際に目標値と等しくない場合がある理由は他にもあります。たとえば、テスト統計が離散的である場合などです。これらの状況は、通常、ランダム化された決定手順を使用することで解決できます。そのため、質問。） $\alpha$

統計が未知の平均と（簡単にするために）既知の標準偏差正規分布を持つと仮定される古典的な片側検定を考えます。はと比較され。帰無仮説はですが、仮説はです。したがって、拒否領域は次の形式になります。 $X$ $\mu$ $\sigma$ $\mu$ $0$ $H_0:\mu \ge 0$ $H_A:\mu \lt 0$

R (α) = (- \infty, Z_{α}]

$\mathcal{R}(\alpha) = (-\infty, Z_\alpha]$

ここで、は、この領域の統計を観察する可能性が多くてもます。 $Z_\alpha$ $\alpha$

\begin{matrix} (1) & α = sup (Pr (X \in R (α))) . \end{matrix}

$\alpha =\sup\left(\Pr(X \in \mathcal{R}(\alpha))\right)\tag{1}.$

仮定の下では、この確率は正規分布関数によって与えられます。 $\Phi$

\begin{matrix} (2) & Pr (X \in R (α)) = Φ (\frac{Z_{α} - μ}{σ}) . \end{matrix}

$\Pr(X \in \mathcal{R}(\alpha)) = \Phi\left(\frac{Z_\alpha-\mu}{\sigma}\right)\tag{2}.$

この確率は未知の値に依存します。 $\mu$ したがって、実際にに等しいことは保証できません。実際、大きな場合、は実質的にゼロです。ただし、すべての基底をカバーする必要があり、が帰無仮説と一致している限り、偽陽性率が超えないことを保証する必要があります。 $\alpha$ $\mu$ $(2)$ $\mu$ $(1)$ $\alpha$

— whuber
ソース

1

@ JackPierce-Brown式は、点帰無仮説および連続検定統計量に対して正しいです。これはウィキペディアの記事で想定されていることですが、おそらく詳しく説明されていません。（+1）

— アメーバ

1

@あもえばそうです。さらに、実際にはポイントヌル仮説が実際に含まれるのはごく少数の実際的なテストであることに注意してください。 vsの従来のスチューデントのt検定でさえ、NULLは点Nullではありませんは、nullが値をているにもかかわらず、パラメーター未知の値に対する多様な可能性があるためです。。

H_{0} : μ = 0

$H_0:\mu=0$

H_{A} : μ > 0

$H_A:\mu \gt 0$

σ

$\sigma$

μ

$\mu$

— whuber

1

@whuberうーん、あなたのt検定の例は不可解です。詳しく説明できますか？は点であり、は帰無仮説に入らないので、は点ヌルだと思い。nullポイントではない場合、タイプIのエラー率が等しくないことを意味しますか？が何であれ、等しいはずだと思ったでしょう。

H_{0} = 0

$H_0=0$

0

$0$

σ

$\sigma$

α

$\alpha$

α

$\alpha$

σ

$\sigma$

— amoeba

2

@Amoebaは、帰無仮説の一部です。厳密には、パラメーター空間は帰無仮説は、サブセットそれは自然の単一の状態ではありません。しかし、おそらく統計の分布は依存しないため、これは最良の例ではありません。そのため、一定のFPRが可能です。

σ

$\sigma$

Θ = {(μ, σ) ∣ μ \in R, σ \geq 0} .

$\Theta = \{(\mu,\sigma)\mid \mu\in\mathbb{R},\,\sigma \ge 0\}.$

H_{0} = {(μ, σ) ∣ μ = 0, σ \geq 0} \subset Θ .

$H_0=\{(\mu,\sigma)\mid \mu=0,\sigma\ge 0\} \subset\Theta.$

t

$t$

σ

$\sigma$

— whuber

1

面白い。そうですか。

— amoeba

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それは卑劣な問題です。連続データがあり、それらを適切に処理する場合、です。ただし、データが離散的である場合、は不可能である可能性があります。コインが公正であるかどうかに関する2項データを考慮してください。 $\Pr(p \leq \alpha|H_0) = \alpha$ $p = \alpha$

> pbinom(0:5, size=5, prob=.5)
[1] 0.03125 0.18750 0.50000 0.81250 0.96875 1.00000

ヘッドがのみタイプIエラーが発生し、それに関連する確率はです。したがって、タイプIのエラー率は「最大で」にますが、は等しくありません。 $0$ $\approx 0.03$ $α$ $\alpha$

一方、（たとえば、段階的な選択ルーチン）の場合でも、よりも大きい タイプIのエラー率につながる（無効な）分析戦略があります。 $\alpha$ $p<\alpha$

私はここでより完全な議論をします：比較および対比、p値、有意水準およびタイプIエラー

— gung-モニカの回復
ソース

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