が均一かつ通常選択されている場合、球面仰角はどのように分布しますか？

フォローアップとして 極座標方法、、分散されたときにとIF？$\theta$$(x,y) \sim U(-1,1) \times U(-1,1)$$(x,y) \sim N(0,1)\times N(0,1)$

仮定どのようにしている及び分散しますか？$(x,y,z) \sim U(-10,10) \times U(-10,10) \times U(-10,10)$$\theta$$\phi$

が次のようになるのは、前の質問のすばらしい回答から明らかです。 $\theta$

しかし、なぜがで最大尤度を取得しないのですか？$\phi$$\phi = \pi/4$

正規分布でを選択すると次の2つのpdfが得られます。$x,y,z$

および分布の名前はどちらの場合にもありますか？私にとっては、区間分布のように見えます。$\theta$$\phi$$\beta$$[-90,90]$

ここでの議論では、は事実上経度であり、は事実上緯度であると想定しています。おそらく、より一般的な球面座標は、赤道からではなく北極からの角度を使用し、そこから2つのシンボルの役割を入れ替えますが、どちらにしても問題はないので、あなたの表記はそうです。$\theta$$\phi$

半径の分布はここでは重要ではなく、角度のみに注意してください。したがって、角度を変更せずにすべてを単位球に投影できます。これは、通常の場合に非常に役立ちます。

3次元標準法線のような球対称の分布では、傾斜の分布の外観は、極の近くよりも赤道の近くの球の表面の方がはるかに広いという事実に関係しています。

数学をたどる（または、前の2D質問と同様の確率の要素で幾何学的な引数を書く）と、傾斜の密度は比例するはずです。これが「確率の要素」という用語で動機付けられるべき幾何学的な議論です：$\cos(\phi)$

赤道半径が1と緯度における半径であるので IS、で円周緯度 IS比例する、および密度そうで IS比例する。$\phi$$\cos(\phi)$$\phi$$\cos(\phi)$$\phi$$\cos(\phi)$

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均一なケース：3D均一で一定の半径に正規化されている場合、2Dの場合と同じ理由で、球上で密度の均一性はありません。球に投影すると、さらに多くのものが得られます "角が角よりも角の近くにある球の（密度はエッジの中央付近の部分が間にあります）-角よりも角に近い角の方が角よりも立方体の体積が多いため顔の中央近く。

これは、立方体で多数のランダムな値を均一に生成し、それらを球に投影することで確認できます。キューブの面の近くよりもコーナーの方がボリュームが多いので、面よりもコーナーから「内側」に見える密度が高くなります。経度に対して赤道の上に高さをプロットすると（これは投影されたz値であり、ここで）、以下の一番上のプロットを取得します。$z^* = z/r$$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

その高さは、前の図の直角三角形の垂直辺に対応しています。その高さはの（）。これを緯度（）に変換するには、投影された垂直方向の高さのアークシンを取得します。これは、下のプロットに表示されているものです。これにより、極に近づくほど「伸縮」し、緯度の関数としての密度が北極と南極で0に低下します（均一と通常の両方の場合）。$\sin$$\phi$$z^*=\sin(\phi)$$\phi$

以下のための密度、その後オーバーその二変量密度の不可欠になります。$\phi$$\theta$

の周辺（つまり、固定値で実行されるストリップ）を見ると、の密度に4つのピークが見られます。赤道から離れたの密度のペアのピークを作成します。これは、立方体のコーナーと上/下のエッジが投影する単位球の表面上の領域に対応します。$\theta$$\theta$$\theta$$\phi$

球面緯度の補完的な累積分布 $\phi$ 立方体のランダムな点が $[-1,1]^3$ 関数をグラフ化する円錐の上にあります $z = \cot(\phi)\sqrt{x^2+y^2}$。これらの点は、立方体全体に均一に分布しているためです（立方体の体積は$8$）、このチャンスは、円錐と立方体の上部の間の体積の1/8です。緯度が超えたとき$\pi/4$、このボリュームは高さのある右円錐のボリュームです $1$ そしてベース $\cot(\phi)$、 に等しい

$$F_{+}(\phi) = \frac{1}{8}\frac{\pi}{3}\cot^2(\phi).$$

図の2つの右側のプロットを参照してください。

緯度が以下の場合 $\arctan(1/\sqrt{2})$、これは半無限の円錐と立方体の交差の体積です。極座標での積分は次の式を与えます

$$F_{-}(\phi) = \frac{1}{8}\left(4-\frac{4}{3} \tan (\phi ) \left(\sqrt{2}+2 \tanh ^{-1}\left(\tan \left(\frac{\pi }{8}\right)\right)\right)\right).$$

図の左端の2つのプロットを参照してください。

これらの式の負の導関数が密度を与えます。の間に$\arctan(1/\sqrt{2})\approx \pi/5$ そして $\pi/4$円錐と立方体の交差が複雑な遷移領域です。正確な表現を作成することはできますが、面倒です。私たちが知っていることは、密度は$-F_{-}$ の派生物に $-F_{+}$ なので $\phi$それらのポイント間で異なります。これは、100万個のシミュレーション値のヒストグラムで示されます（立方体の上半分のみから、下半分は鏡像になります）。ゴールドカーブは、$-\frac{d}{d\phi}F_{-}$ 右側の赤い曲線は $-\frac{d}{d\phi}F_{+}.$

これにより、モードが $\phi=\pm \pi/4$、ただしこれらの値と $\pm \arctan(1/\sqrt{2})$。