スピアマンの相関とケンドールの相関の違いを束縛する

私は、スピアマンの相関とケンドールの相関の差が1以下であることを証明または証明しようとしています。

結びつきはないと思います。

反例を使用して結果を反証する試みで、長さ8のベクトルのすべての可能性をチェックしました。

差：

この場合、差は決して0.4を超えないので、本当だと思いますが、証明できませんでした。

correlation spearman-rho kendall-tau

— Pqqwetiqe
ソース

非常に興味深い投稿があり、質問の一部が重複している可能性があります。？それは「ケンドールのタウまたはスピアマンのrho stats.stackexchange.com/questions/3943/kendall-tau-or-spearmans-rhoです。

— マイケル・R. Chernick

（ 1 、 ん ） 、 （ 2 、 ん - 1 ） 、 \dots 、 （ ん 、 1 ） 、 （ ん + 1 、 2 ん ） 、 （ ん + 2 、 2 ん - 1 ） 、 \dots 、 （ 2 ん 、 ん + 1 ）

$(1,n),(2,n-1),\ldots, (n,1),(n+1,2n),(n+2,2n-1),\ldots,(2n,n+1)$

2 n

$2n$

（ 1 、 ん + 1 ） 、 （ 2 、 ん ） 、 \dots 、 （ ん + 1 、 1 ） 、 （ ん + 2 、 2 ん + 1 ） 、 （ ん + ３ 、 2 ん ） 、 \dots 、 （ 2 ん + 1 、 ん + 2 ）

$(1,n+1),(2,n),\ldots,(n+1,1),(n+2,2n+1),(n+3,2n),\ldots,(2n+1,n+2)$

2 n + 1

$2n+1$

n

$n$

\frac{2 (n - 2) ⌈ \frac{n}{2} ⌉ ⌊ \frac{n}{2} ⌋}{n (n^{2} - 1)},

$\frac{2 (n-2) \left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil \left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }{n \left(n^2-1\right)},$

1 / 2

$1/2$

n \to \infty .

$n\to\infty.$

n (n^{2} - 1) / 4

$n(n^2-1)/4$

n

$n$

1 / 2

$1/2$

1 / 2

$1/2$

O (1 / n)

$O(1/n)$ R1:nfunction(x, y) mean(outer(x, x, '-') * outer(y, y, '-')) * 6 / (length(x)^2 - 1) function(x,y) mean(sign(outer(x, x, '-')) * sign(outer(y, y, '-'))) * (1 + 1/(length(x)-1))

このペーパーをご覧ください。そしてこれらの著者による他の作品。正確な場所は思い出せませんが、彼らの論文であなたの最初のグラフを見たことがあります。これはコピュラを活用することで実現できると思います（Kendall tauとSpearman rhoは2つの変数間の基礎となるコピュラの関数として記述できるため）。それが役に立てば幸い。

$C$ $(X,Y)$

$\tau(X,Y) = 4\int_0^1 \int_0^1 C(u,v) c(u,v) du dv - 1$

$[0,1]$

$\rho(X,Y) = 12 \int_0^1 \int_0^1 C(u,v) du dv - 3$

$|\tau - \rho| \leq \ldots$

— マイク
ソース

紙はそれが示す技術のための素晴らしいリファレンスです。ただし、この質問で推測された結果を簡単に示唆する結果は含まれていないようです。これは主に、その結果が普遍的ではないためです。それらは、さまざまな制限条件の下で適用され、共同配布が独立に近づくときの限界にさえ適用されます。

— whuber