8個のランダムビットを（0、255）で均一に生成するのはなぜですか？

8つのランダムビット（0または1）を生成し、それらを連結して8ビット数を形成しています。単純なPythonシミュレーションでは、離散セット[0、255]で均一な分布が得られます。

これが私の頭の中で理にかなっている理由を正当化しようとしています。これを8枚のコインのフリッピングと比較した場合、期待値は4頭/ 4尾のどこかにありませんか？だから私にとって、私の結果は範囲の中央のスパイクを反映するはずです。言い換えると、8個のゼロまたは8個のシーケンスが、4と4、または5と3などのシーケンスと同じくらい可能性が高いように見えるのはなぜですか？ここで何が欠けていますか？

TL; DR： ビットとコインの明確な対照は、コインの場合、結果の順序を無視しているということです。HHHHTTTTはTTTTHHHHと同じように扱われます（両方とも4つのヘッドと4つのテールがあります）。しかし、ビットでは、順序を気にかけます（256の結果を得るにはビット位置に「重み」を与える必要があるため）、11110000は00001111とは異なります。

長い説明： これらの概念は、問題をフレーミングする際にもう少し正式なものであれば、より正確に統一することができます。実験は、2つの結果と「成功」0.5および「失敗」0.5の確率を持つ8つの試行のシーケンスであると考えてください。これらの試行は独立しています。一般に、これを成功、回の試行および回の失敗と呼び、成功の確率はです。n n − k $k$$n$$n-k$$p$

• コインの例では、「 heads、 tails」という結果は試行の順序を無視します（発生順序に関係なく4頭は4頭です）。これにより、4頭が0または8つの頭。4つのヘッド（TTHHTTHH、またはHHTTHHTTなど）を作成する方法は他の数よりも多いため（8つのヘッドには1つのシーケンスしかありません）、4つのヘッドがより一般的です。二項定理は、これらの異なる構成を作成するいくつかの方法を提供します。n − $k$$n-k$

• 対照的に、各場所には「重み」または「場所の値」が関連付けられているため、ビットにとって順序は重要です。二項係数の特性の1つは、。つまり、すべての異なる順序シーケンスをカウントアップすると、ます。これは、二項試行でヘッドを作成するさまざまな方法のアイデアを、異なるバイトシーケンスの数に直接結び付けます。 28=256k$2^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}$$2^8=256$$k$$n$

• さらに、256の結果が独立性の特性によって等しく発生する可能性があることを示すことができます。前の試行は次の試行に影響を与えないため、特定の順序付けの確率は一般に（独立したイベントの結合確率は確率の積であるため）。試行は公正であるため、、この式は。すべての順序は同じ確率であるため、これらの結果（バイナリエンコーディングによって整数として表すことができます）に均一な分布があります。 P （成功）= P （失敗）= p = 0.5 P （任意の順序）= 0.5 8 = $p^k(1-p)^{n-k}$$P(\text{success})=P(\text{fail})=p=0.5$ [0、255$P(\text{any ordering})=0.5^8=\frac{1}{256}$$[0,255]$

• 最後に、この完全な円をコイントスと二項分布に戻すことができます。0頭の出現は4頭と同じ確率ではなく、これは4頭の出現を順序付ける方法が異なるためであり、そのような順序の数は二項定理によって与えられるためです。そのため、は何らかの方法で重み付けする必要があり、具体的には二項係数によって重み付けする必要があります。これにより、二項分布のPMFます。この式がPMFであること、特に合計が1であることはすぐには明らかではないため、驚くかもしれません。確認するには、P （k  成功）= （$P(\text{4 heads})$∑ n k = 0（$P(k \text{ successes})=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$1=1n=（p+1−p）n=∑ n k = 0（$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}=1$、しかしこれは二項係数の問題です：。$1=1^n=(p+1-p)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$

なぜ8個のゼロまたは8個のシーケンスが4と4、または5と3のシーケンスと同じくらい可能性があるように見えるのか

親のパラドックスは、矛盾しているように見える2つの命題に要約できます。

1. シーケンス （8つのゼロ）は、シーケンス（4つのゼロ、4つの1）と同じ確率です。（一般に、ゼロ/ワンの数に関係なく、すべてのシーケンスの確率は同じです。）s 2：01010101 2 $s_1: 00000000$$s_2: 01010101$$2^8$

2. イベント "：シーケンスに4つのゼロがあった "は、イベント "：シーケンスに8つのゼロがあった " よりも可能性が高い（実際、倍高い）。 70 e $e_1$$70$$e_2$

これらの命題は両方とも真実です。イベントは多くのシーケンスが含まれているためです。$e_1$

すべてのシーケンスは、同じ確率 =持っています。質問が解釈されるように近い0と1の同数に有する配列は、より多くの可能性が高い...我々が想定しているため、我々は1/256に到着することは明らかであるべきであることを考える間違っている裁判から裁判に独立を。そのため、確率を乗算し、1つの試行の結果が次の試行に影響を与えません。2 $2^8$$2^8$

3ビットの例（多くの場合、例はより具体的です）

0から7までの自然数を次のように書きます。

• 10を底とする数値
• 基数2の数（つまり、ビットのシーケンス）
• 基数2の表現によって暗示される一連のコインフリップ（1はヘッドのフリップを示し、0はテールのフリップを示します）。

等しい確率で0〜7の自然数を選択することは、右側のコインフリップシリーズのいずれかを等しい確率で選択することと同じです。

したがって、0〜7の整数の一様分布から数を選択すると、3つのヘッドを選択する可能性があり、2つのヘッドを選択する可能性がありますヘッドを1つ選ぶチャンス、およびヘッドを0選ぶチャンス。$\frac{1}{8}$$\frac{3}{8}$$\frac{3}{8}$$\frac{1}{8}$

Sycoraxの答えは正しいのですが、その理由は完全には明らかではないようです。8個のコインをフリップするか、順序を考慮して8個のランダムビットを生成すると、256個の同等の可能性の1つになります。あなたの場合、これら256の可能な結果のそれぞれが一意に整数にマッピングされるため、結果として均一な分布が得られます。

頭や尾の数だけを考慮するなど、順序を考慮しない場合、9つの可能な結果（0頭/ 8尾-8頭/ 0尾）しかありません。 。これは、256の可能な結果のうち、8ヘッド/ 0テール（HHHHHHHH）を与えるフリップの組み合わせが1つと、7ヘッド/ 1テール（8ポジションのそれぞれのテール順序）、ただし、8C4 = 4つのヘッドと4つのテールを持つ70の方法。コインフリッピングの場合、これらの70の組み合わせのそれぞれは4つのヘッド/ 4テールにマップされますが、2進数の問題では、これらの70の結果のそれぞれは一意の整数にマップされます。

言い換えると、問題は、8つのランダムな2進数の組み合わせの数が、8つのランダムな2進数の順列の数と異なる時点で、0から8つの選択された数字（1など）とみなされる理由です。ここでのコンテキストでは、0と1のランダムな選択は、各数字が他の数字から独立していることを意味するため、数字は無相関であり、です。。$p(0)=p(1)=\frac{1}{2}$

答えは次のとおりです。2つの異なるエンコーディングがあります。1）順列の可逆符号化と2）組み合わせの非可逆符号化。

$\sum_{i=1}^82^{i-1}{X_i}$${X_i}$$i^{th}$$2^8=256$。その後、偶然にも、一意性を失うことなく、これらの2進数を10進数の0から255に変換したり、他のロスレスエンコーディング（ロスレス圧縮データ、16進数、8進数など）を使用してその数字を書き換えたりすることができます。ただし、質問自体はバイナリです。各一意のエンコードシーケンスを作成できる方法は1つしかないため、各順列は同様に確率が高く、1または0の出現はその文字列内のどこでも等しく起こり得るため、各順列は等しく確率が高くなります。

$\sum_{i=1}^82^{0}{X_i}$$C(8,\sum_{i=1}^8{X_i})$$\sum_{i=1}^8{X_i}$$C(8,4)$

注：現時点では、上記の答えは、2つのエンコードの明示的な計算上の比較を含む唯一のものであり、エンコードの概念に言及する唯一の答えです。それを正しくするのに時間がかかったので、歴史的にこの答えは否定されました。未解決の苦情がある場合は、コメントを残してください。

更新：前回の更新以降、エンコードの概念が他の回答でも理解され始めていることを嬉しく思います。現在の問題に対してこれを明示的に示すために、各組み合わせで不可逆エンコードされた順列の数を添付しました。

$C(8,n)-1$$n$$0$$69$$256-9=247$

順序依存性と独立性の考え方を少し拡張したいと思います。

8枚のコインを裏返すことで予想される頭の数を計算する問題では、それぞれがベルヌーイ分布である8つの同一の分布[; B(1, 0.5) ;]（つまり、50％の確率0、50％の確率）の値を合計しています1）。合計の分布は二項分布です[; B(8, 0.5) ;]。これは、ほとんどの確率が4を中心とするおなじみのハンプ形状です。

8つのランダムなビットで構成されるバイトの期待値を計算する問題では、各ビットがバイトに寄与する値が異なるため、8つの異なる分布の値を合計しています。最初が[; B(1, 0.5) ;]、2番目が[; 2 B(1, 0.5) ;]、3番目が[; 4 B(1, 0.5) ;]、8番目までです[; 128 B(1, 0.5) ;]。この合計の分布は、当然のことながら最初のものとはかなり異なります。

この後者の分布が均一であることを証明したい場合、帰納的にそれを行うことができると思います-最下位ビットの分布は仮定により1の範囲で均一であるため、最下位[; n ;]ビットの分布がの範囲で均一である[; 2^n - 1} ;]場合、[; n+1 ;]stビットを追加する[; n + 1 ;]と、の範囲で最下位ビットの分布が均一になり、[; 2^{n+1} - 1 ;]すべての正の証明が得られます[; n ;]。しかし、直感的な方法はおそらく正反対です。上位ビットから開始し、下位ビットまで値を1つずつ選択すると、各ビットは可能な結果のスペースを正確に半分に分割し、各半分は等しい確率で選択されるため、一番下に、個々の値が同じ確率で選択されている必要があります。

各ビットを比較するバイナリ検索を行う場合、8ビット番号ごとに同じ数のステップ（0000 0000から1111 1111まで）が必要です。両方のステップの長さは8ビットです。バイナリ検索の各ステップでは、両側で50/50の確率で発生するため、最終的には、すべての数字は同じ深さと同じ確率を持ち、実際の選択なしに、各数字は同じ重みを持つ必要があります。したがって、個々のビットがコインフリップによって決定される場合でも、分布は均一でなければなりません。

ただし、数字の桁数は均一ではなく、8枚のコインを投げるのと同じ分布になります。

ゼロが8つあるシーケンスは1つだけです。4つのゼロと4つの1つの70のシーケンスがあります。

したがって、0.39％の確率の70個すべてを合計すると、0の確率は0.39％、15 [00001111]の確率も0.39％、23 [00010111]の確率は0.39％などとなります。 27.3％を取得します。これは、4つを持つ確率です。これが機能するためには、個々の4と4の結果の確率が0.39％を超える必要はありません。

サイコロを考慮する

不均一な分布の一般的な例であるいくつかのサイコロを転がすことを考えてください。計算のために、サイコロには従来の1〜6ではなく0〜5の番号が付けられていることを想像してください。分布が均一ではない理由は、複数の組み合わせで {5、0}、{0、5}、{4、1}などのように同じ合計で、すべて5を生成します。

$6^1$$6^0$$6^0$

@Sycoraxと@Blacksteelの両方が指摘しているように、この違いは最終的には順序の問題に帰着します。

選択した各ビットは、互いに独立しています。あなたが最初のビットを考慮すると

• 50％の確率で1になります

そして

• 50％の確率で0になります。

$(\frac{1}{2})^8$$\frac{1}{256}$