ロジスティック成長データの周りのエラーの分布はどうですか？

生態学では、ロジスティック成長方程式をよく使用します。

または

ここで、は運搬能力（到達した最大密度）、は初期密度、は成長率、は初期からの時間です。$K$$N_0$$r$$t$

の値には、ソフトな上限と下限、強い下限があり。$N_t$$(K)$$(N_0)$$0$

さらに、私の特定のコンテキストでは、測定は、光学密度または蛍光を使用して行われます。どちらも理論上の最大値、つまり強い上限があります。$N_t$

したがって、周りのエラーは、おそらく有界分布によって最もよく説明されます。$N_t$

値が小さい場合、分布にはおそらく強い正のスキューがあり、値がKに近づくと、分布にはおそらく強い負のスキューがあります。したがって、分布にはおそらくにリンクできる形状パラメーターがあります。$N_t$$N_t$$N_t$

分散もとともに増加する可能性があります。$N_t$

これはグラフィカルな例です

と

K<-0.8
r<-1
N0<-0.01
t<-1:10
max<-1

これはrで生成できます

library(devtools)
source_url("https://raw.github.com/edielivon/Useful-R-functions/master/Growth%20curves/example%20plot.R")

• 周りの理論的な誤差分布はどうなりますか（モデルと提供された経験的情報の両方を考慮して）？$N_t$

• この分布のパラメーターはまたは時間の値にどのように関連していますか（パラメーターを使用していた場合、モードを直接関連付けることができません（例：logis normal））。$N_t$$N_t$

• この分布には、実装されている密度関数がありますか？$R$

これまでに探索された方向：

• 周りの正規性を仮定します（推定の超過につながります）$N_t$$K$
• 付近のロジット正規分布、ただし形状パラメーターのアルファとベータのフィッティングは困難$N_t/max$
• ロジック周辺の正規分布$N_t/max$

Michael Chernickが指摘したように、スケーリングされたベータ分布はこれに最適です。ただし、すべての実用的な目的のために、あなたが決してモデルを完全に正しいものにするには、ロジスティック成長方程式に従って非線形回帰を介して平均をモデル化し、これを不均一分散に対してロバストな標準誤差でラップするほうがよいでしょう。これを最尤コンテキストに入れると、非常に正確な誤った感覚が生じます。生態学の理論が分布を生み出すなら、あなたはその分布に適合すべきです。理論が平均の予測のみを生成する場合は、この解釈に固執し、本格的な分布のようなそれ以上のものを考え出さないでください。（ピアソンの曲線体系は確かに100年前には空想的でしたが、ランダムプロセスは密度方程式を生成する微分方程式をたどらず、それがこれらの密度曲線に対する彼の動機でした-むしろ、$N_t$自体-私はポアソン分布を例として考えています-そして、この効果がスケーリングされたベータ分布によって捕捉されるかどうかは完全にはわかりません。逆に、平均値を理論上の上限に向けて圧縮すると、圧縮する必要があります。測定デバイスに測定の上限がある場合でも、実際のプロセスが上限が必要です。プロセスが適度に正確に測定される上限に達すると、デバイスによってもたらされる測定誤差が重大になると言いたいのです。測定を基礎となるプロセスと混同している場合は、それを明示的に認識する必要がありますが、デバイスがどのように機能するかを説明するよりもプロセスに大きな関心があると思います。（このプロセスは今から10年後に行われます。新しい測定デバイスが使用可能になる可能性があるため、作業が古くなります。）

@whuberは、このモデルの構造部分とエラー項の分布との間に必要な関係がないことは正しいです。したがって、理論的な誤差分布についての質問に対する回答はありません。

これは、それが良い質問ではないという意味ではありません。答えは、大部分は経験的でなければなりません。

ランダムさが加法的であると想定しているようです。これが事実である理由は（計算上の都合以外に）わかりません。モデルのどこかにランダムな要素がある代替案はありますか？たとえば、以下を参照してください。ここで、ランダム性は、平均1の正規分布として導入され、分散のみが推定するものです。これが正しいことだと思う理由はありませんが、見たいものと一致しているように見えるもっともらしい結果が得られるということです。このようなものをモデルを推定するための基礎として使用することが実用的かどうかはわかりません。

loggrowth <- function(K, N, r, time, rand=1){
    K*N*exp(rand*r*time)/(K+N*exp(rand*r*time-1)))}

plot(1:100, loggrowth(100,20,.08,1:100, rnorm(100,1,0.1)), 
    type="p", ylab="", xlab="time")
lines(1:100, loggrowth(100,20,.08,1:100))