独立したNormal（0,1）変数UおよびVのX = min（U、V）およびY = max（U、V）であるcov（X、Y）とは何ですか？

$\newcommand{\E}{\mathrm{E}}$ $\newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}$ $\newcommand{\cov}{\mathrm{Cov}}$ $\newcommand{\Expect}{{\rm I\kern-.3em E}}$

共分散の定義の直接的な結果として、 $\cov (X,Y)= \E(XY)-\E(X)\E(Y)$ 。

事実1：（正規分布確率変数の合計）パラメータ持つ半正規確率変数です
$U, V \overset{i.i.d.}{\sim} \mathcal{N}(0,1)$
$\Rightarrow U - V \sim \mathcal{N}(0,2)$
$\Rightarrow |U - V|$ $\sigma = \sqrt2$
$\Rightarrow \E (|U - V|) = \frac{\sigma\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}} = \frac{2}{\sqrt{\pi}}$

事実2：（期待値の線形性）。我々は持っている。その結果、ます。
$\E(X)+\E(Y) = \E(X+Y)$ $\E(X+Y) = \E (\min(U,V)+\max(U,V))= \E(U+V) = \E(U)+\E (V) = 0 + 0 = 0$ $\E(Y) = -\E(X)$

事実3：
以来：、したがって、 $Y-X = |U - V|$
$2\E(Y) = \E(Y)-\E(X) = \E(Y-X) = \E (|U - V|)= \frac{2}{\sqrt{\pi}}$ $\E(Y)= \frac{2}{2\sqrt{\pi}}= \frac{1}{\sqrt{\pi}}$

事実4：
ので、我々は $XY=UV$ $\E(XY)=\E(UV)=\E (U)\E (V)=0$

これらの事実を使用して：。 $\cov (X,Y)= \E(XY)-\E(X)\E(Y)= 0 + \E(Y)\E(Y) = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\frac{1}{\sqrt{\pi}}=\frac{1}{\pi}$

— フランク・ダーノンコート
ソース

は負の符号が必要です- 実際にはではなく使用しています。

c o v (X, Y)

$cov (X,Y)$

E (Y)^{2}

$E(Y)^2$

E (X) E (Y)

$E (X)E (Y)$

— 確率

E（X）E（Y）はE ^ 2（Y）と同じです。問題は、符号が-から+に変わったことです。そのような立派な証拠を与え、最後に1つの不注意な間違いを犯すのは残念です。一見して見落としました。

— Michael R. Chernick 2017年

符号は変更されました（事実2）。What is cov（X、Y）の読者が思ったように答えを投稿しました。ここで、X = min（U、V）とY = max（U、V）は、独立したuniform（0,1）変数UとVですか？興味があるかもしれません。

\E (X) = - \E (Y)

$\E(X) = -\E(Y)$

— フランクダーノンコート2017年

どういうわけかフランクは混乱しました。あなたはそれを正しく、私たちはそれを間違っていたようです。

— マイケルR.シェニック