モデルが正しくない場合でも、MLE推定は漸近的に正常かつ効率的ですか？

前提：これは愚かな質問かもしれません。私はMLEの漸近的性質に関する記述しか知りませんが、証明を研究したことはありません。もしそうなら、これらの質問をするつもりはないだろう、またはこれらの質問が意味をなさないことに気付くかもしれない...だから私に簡単に行ってください:)

モデルのパラメーターのMLE推定量が漸近的に正常で効率的であると言うステートメントをよく見ました。文は通常次のように書かれています

$\hat{\theta}\xrightarrow[]{d}\mathcal{N}(\theta_0,\mathbf{I}(\theta_0)^{-1})$として$N\to\infty$

ここで$N$サンプル数であり、$\mathbf{I}$フィッシャー情報とで$\theta_0$パラメータ（ベクトル）である真値。さて、真のモデルへの参照があるので、これは、モデルが真でない場合、結果が保持されないことを意味しますか？

例：風速Vと加法ガウスノイズの関数として風力タービンからの出力をモデル化すると仮定し ます。$P$$V$

$P=\beta_0+\beta_1V+\beta_2V^2+\epsilon$

少なくとも2つの理由で、モデルが間違っていることを知っています。1）はVの3乗に本当に比例します。2）風速とは無関係な他の予測変数を無視したため、誤差は加法的ではありません（風速0では電力が生成されないため、β0は0でなければなりませんが、ここでは関係ありません）。今、風力タービンからの電力と風速のデータの無限データベースがあると仮定します。どんなサイズのサンプルでも好きなだけ描くことができます。私は1000個のサンプル、サイズ100、及び計算の各描画仮定β 100のMLE推定値β = （β 0、β $P$$V$$\beta_0$$\hat{\boldsymbol{\beta}}_{100}$）私のモデルの下でちょうどOLSが推定されるであろう（。私は、このようの分布から1000個のサンプルを持っている β 100。私は練習を繰り返すことができ、N = 500 、1000年、1500年、...。N → ∞の分布すべきである β Nは述べ平均と分散で、漸近的に正常である傾向がありますか？または、モデルが正しくないという事実がこの結果を無効にしますか？$\boldsymbol{\beta}=(\beta_0,\beta_1,\beta_2)$$\hat{\boldsymbol{\beta}}_{100}$$N=500,1000,1500,\dots$$N\to\infty$$\hat{\boldsymbol{\beta}}_{N}$

私が尋ねている理由は、アプリケーションではめったに（あるとしても）モデルが「真」であるということです。モデルが真ではないときにMLEの漸近特性が失われた場合、異なる推定原理を使用することは理にかなっている可能性があります。

編集：コメントでは、真のモデルの概念には問題がある可能性があると指摘されていました。モデルの家族与えられた：私は心の中で次のような定義を持っていたのパラメータベクトルでindicized θあなたはいつも書くことができ、家族内の各モデルについて、 $f_{\boldsymbol{\theta}}(x)$$\boldsymbol{\theta}$

$Y=f_{\boldsymbol{\theta}}(X)+\epsilon$

単純に定義することによってとしてY - F θ（X ）。ただし、一般に、エラーはXに直交せず、平均0を持ち、必ずしもモデルの導出で想定される分布を持つとは限りません。値が存在する場合にはθ 0ようにεはこれら2つのプロパティだけでなく、想定分布を有しているが、私はモデルが真であると言うでしょう。私はこれを直接ことを言ってに関係していると思わF θ 0（X ）= E [ Y | X ]、分解のエラー項$\epsilon$$Y-f_{\boldsymbol{\theta}}(X)$$X$$\boldsymbol{\theta_0}$$\epsilon$$f_{\boldsymbol{\theta_0}}(X)=E[Y|X]$

$Y=E[Y|X]+\epsilon$

上記の2つのプロパティがあります。

この質問に対する単一の答えがあるとは思わない。

最尤推定を適用する際に分布の仕様の誤りを考慮すると、「準最尤」推定量（QMLE）と呼ばれるものが得られます。特定の場合、QMLEは一貫性があり、漸近的に正常です。

確実に失われるのは、漸近的な効率です。これは、√の漸近分散（これは漸近分布を有する量だけでなく、ある θ）であり、全ての場合において、$\sqrt n (\hat \theta - \theta)$$\hat \theta$

$$\text{Avar}[\sqrt n (\hat \theta - \theta)] = \text{plim}\Big( [\hat H]^{-1}[\hat S \hat S^T][\hat H]^{-1}\Big) \tag{1}$$

ここで、は対数尤度のヘッセ行列、Sは勾配、ハットはサンプル推定を示します。$H$$S$

さて、正しい仕様があれば、まず、

$$\text{Avar}[\sqrt n (\hat \theta - \theta)] = (\mathbb E[H_0])^{-1}\mathbb E[S_0S_0^T](\mathbb E[H_0])^{-1} \tag{2}$$

ここで、「」という真のパラメータ（及び中間項はフィッシャー情報の定義であることに注意）、および第二の「添字表す評価、情報行列平等に」と保持し、状態- E [ H 0 ] = E [ S 0 S T 0 ]は、漸近分散が最終的に$0$$-\mathbb E[H_0] = \mathbb E[S_0S_0^T]$

$$\text{Avar}[\sqrt n (\hat \theta - \theta)] = -(\mathbb E[H_0])^{-1} \tag{3}$$

これはフィッシャー情報の逆です。

しかし、仕様に誤りがある場合、式は式（2 ）になりません（誤った可能性に基づいて（1 ）の1次および2次導関数が導出されているため）。これは、情報行列の不等式が成り立たないこと、式（3 ）で終わらないこと、および（Q）MLEが完全な漸近効率を達成しないことを意味します。$(1)$$(2)$$(1)$$(3)$