Wald検定に使用する分散推定はどれですか？

帰無仮説 Wald検定について、スカラーパラメーターに対して正当化をました。場合ためのMLEであるサイズの独立サンプルから推定、帰無仮説の下で私たちがとしての分布。ここで、はで評価された単一の観測の予想情報です。テスト統計を使用する必要があるように私には思えます θ θ N、θ N $H_0: \theta = \theta_0$$\theta$$\hat{\theta}_n$$\theta$$n$のn→∞I（θ0）θ$\sqrt{n}\left(\hat{\theta}_n - \theta_0\right) \rightarrow N\left(0, \dfrac{1}{i(\theta_0)}\right)$$n\rightarrow \infty$$i(\theta_0)$$\theta_0$

$\dfrac{\sqrt{n}\left(\hat{\theta}_n - \theta_0\right)}{\sqrt{\dfrac{1}{i(\theta_0)}}}$

大きな、これはおよそになります。ただし、Wald統計を次のように記述する方が一般的です。$N(0,1)$$n$

$\dfrac{\sqrt{n}\left(\hat{\theta}_n - \theta_0\right)}{\sqrt{\dfrac{1}{i\left(\hat{\theta}\right)}}},$

つまり、期待される情報をではなくでます。私の質問は、仮説検定を実行するためにnullでの検定統計量の分布が必要であることを考えると、nullでの標準誤差を推定して推定すること、つまり by？ θ0秒。e。（ θ）$\hat{\theta}$$\theta_0$$s.e.\left(\hat{\theta}\right)$$\sqrt{\dfrac{1}{i\left(\theta_0 \right)}}$

どちらのアプローチも正当であり、どちらも統計量の漸近的ヌル分布を同じにします。

$\sqrt{n}(\hat{\theta}_n - \theta_0) \rightarrow_d N(0, i(\theta_0)^{-1})$、が連続マッピング定理（CMT）収率その、提供、のような規則的な問題の場合のことであり、連続しています。次に、CMTによって、 とSlutzkyの定理は、その 下でも。$\hat{\theta}_n \to_p \theta_0$$i(\hat{\theta}_n) \to_p i(\theta_0)$$i$

$$\sqrt{\dfrac{1}{i(\hat{\theta}_n)}}\to_p\sqrt{\dfrac{1}{i(\theta_0 )}}$$ H $$\dfrac{\sqrt{n}(\hat{\theta}_n - \theta_0)}{\sqrt{\dfrac{1}{i(\hat{\theta})}}}\to_dN(0,1)$$ $H_0$