累積分布関数が正しい連続であることをどのように証明できますか？

私は確率コースで、確率変数の累積分布関数が正しく連続的であることを学びました。それを証明することは可能ですか？ $F$ $X$

probability

— ブラタマニ
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分布関数の正しい連続性を証明するには、上からの連続性を使用する必要があります。これは、おそらく確率コースの1つで証明されました。 $P$

補題。イベントのシーケンスが減少している場合、すべてのであるという意味で、、ここでです。 $\{A_n\}_{n\geq 1}$ $A_n\supset A_{n+1}$ $n\geq 1$ $P(A_n)\downarrow P(A)$ $A=\cap_{n=1}^\infty A_n$

補題を使ってみましょう。分布関数いくつかの点で連続正しい場合にのみ実数のすべての減少シーケンスに対するならとなるよう我々は。 $F$ $a$ $\{x_n\}_{n\geq 1}$ $x_n\downarrow a$ $F(x_n)\downarrow F(a)$

イベント定義に対する。我々は証明する $A_n=\{\omega : X(\omega)\leq x_n\}$ $n\geq 1$

⋂_{n = 1}^{\infty} A_{n} = {ω : X (ω) \leq a} .

$\bigcap_{n=1}^\infty A_n=\{\omega:X(\omega)\leq a\}\, .$

一つの方向で、もしすべてのため、以来、、我々が持っている。 $X(\omega)\leq x_n$ $n\geq 1$ $x_n\downarrow a$ $X(\omega)\leq a$

他の方向では、もし、以降それぞれに対する、我々はすべてのために、。 $X(\omega)\leq a$ $a\leq x_n$ $n\geq 1$ $X(\omega)\leq x_n$ $n\geq 1$

補題を使用すると、結果は次のようになります

F (x_{n}) = P {X \leq x_{n}} = P (A_{n}) ↓ P (\cap_{n = 1}^{\infty} A_{n}) = P {X \leq a} = F (a) .

$F(x_n) = P\{X\leq x_n\} = P(A_n) \downarrow P\left( \cap_{n=1}^\infty A_n \right) = P\{X\leq a\} = F(a) \, .$

— 禅
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