中央値が外側にある反例[モード平均]

この記事は私のリーグを超えていますが、私が興味を持っているトピック、平均値、最頻値、中央値の関係について述べています。それは言う：

単峰分布の中央値は「通常」、平均と最頻値の間であると広く信じられています。ただし、これは常に正しいとは限りません...

私の質問：中央値が[モード、平均]間隔の外にある連続単峰（理想的には単純）分布の例を誰かが提供できますか？たとえば、のようなディストリビューションmode < mean < median。

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Glen_bとFrancisによる良い回答は既にありますが、私が本当に興味を持っているのは、モード<平均<中央値または中央値<平均<モード（つまり、両方の中央値が[mode、mean]の外側であり、中央値がモードの意味としての「同じ側」（つまり、モードの上下両方））。ここで答えを受け入れることができます。新しい質問が開かれますか、または誰かがここで解決策を直接提案できますか？

確かに、中央値が平均と最頻値の間にない例-連続単峰型の例でさえ-見つけるのは難しくありません。

1. 考えます。$T_1,T_2$$f_T(t) = 2(1-t) \mathbb{1}_{0<t<1}$

   $X$$T_1$$-4T_2$

   $X$

   

   平均は0未満で、モードは0ですが、中央値は0を上回ります。これを少し変更すると、（cdfだけでなく）密度さえ連続である例が得られますが、位置と測定値の関係は同じ（編集：以下の3.を参照）。

2. $p$$0<p<1$$(1-p)$$-\beta$$-4$$\beta>0$

   

   ここで仮定します$p>\frac12$$0$$p>\frac12$$1-1/\sqrt{2p}$

   $(p - \beta(1-p))/3$

   $\beta>p/(1-p)$$\beta< p/(1-p)$

   $(p - \beta(1-p))/3 < 1-1/\sqrt{2p}$

   $p=0.7$

   $\beta=2$$\beta<p/(1-p)$

   $1-1/\sqrt{1.4}\approx 0.1548$$\frac{0.7-2(0.3)}{3}\approx 0.0333$$p=0.7$$\beta=2$

   $x$$t$

3. これは密度自体が連続している例です。これは、上記の1.と2.のアプローチに基づいていますが、「ジャンプ」が急な勾配に置き換えられています（そして、右スキューに見える例が必要なため、密度全体が0で反転しました）。

   

   $T_1$$-3T_2$$5T_3$

   上の図でわかるように、要求通り、平均は真ん中です。

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4. $[\text{mode},\text{mean}]$$k$

   特に、ワ​​イブル形状パラメータの値が小さい場合、分布は右スキューであり、モードと平均の間の中央値の通常の状況になりますが、ワイブル形状パラメータの値が大きい場合、分布は左スキューです。 、そして再び「中間の中央値」の状況になります（ただし、現在では平均ではなく右側にモードがあります）。それらのケースの間には、中央値が平均モード間隔の外側にある小さな領域があり、その中央で平均とモードが交差しています。

         k                 order
    (0,3.2589)      mode < median < mean
     ≈ 3.2589       mode = median < mean
   (3.2589,3.3125)  median < mode < mean    (1)
     ≈ 3.3215       median < mode = mean
   (3.3215,3.4395)  median < mean < mode    (2)
     ≈ 3.4395       median = mean < mode
     3.4395+        mean < median < mode
     (≈3.60235      moment-skewness = 0)
   

   上記の（1）と（2）でマークされた間隔（位置統計間のギャップがほぼ等しい値）の形状パラメーターの便利な値を選択すると、次のようになります。

   

   これらは要件を満たしていますが、残念ながら3つの位置パラメーターは非常に接近しているため、視覚的に区別できません（すべて同じピクセルに分類されます）。これは少しがっかりです。以前の例のケースははるかに分離した。（それにもかかわらず、他の分布で調べる状況を提案します。そのいくつかは、より視覚的に明確な結果をもたらす可能性があります。）

次の例は、確率におけるヨルダン・ストヤノフの反例からの抜粋です。

$c$$\lambda$$X$

$$f(x)=\begin{cases}ce^{-\lambda(x-c)}, & x\in(c, \infty) \\ x, & x\in(0, c] \\ 0, & x\in(-\infty,0].\end{cases}$$ $\mu$$m$$M$$X$ $$\mu=\frac{c^3}{3}+\frac{c^2}{\lambda}+\frac{c}{\lambda^2},\qquad m=1,\qquad M=c.$$ $f(x)$ $$\frac{c^2}{2}+\frac{c}{\lambda}=1.$$ $c\to1$$\lambda\to2$$c>1$$1$$1.0001$$\mu>c$$M=c$$m$$\mu$$M$

0 <= x <無限大に対して、速度パラメーターaと密度a exp（-ax）を持つ指数分布をとります。モードはゼロです。もちろん、平均値と中央値は0より大きい値です。累積分布関数は1-exp（-ax）です。したがって、xのexp（-ax）= 0.5の中央値の解決について。次に、-ax = ln（0.5）またはx = -ln（0.5）/ aです。平均の場合、0から無限大までのax exp（-ax）を積分します。a = 1をとると、中央値= -ln（0.5）= ln（2）および平均= 1になります。

つまり、モード<中央値<平均です。