ポアソン分布からのデータのロジスティック回帰

yがクラスラベル（0または1）であり、xがデータである、いくつかの識別的分類方法、特にロジスティック回帰について話しているいくつかの機械学習ノートから、それは次のように言われます：

もし、及びX | Y = 1 〜P 、O 、I 、S 、S 、O 、N（λ 1）、次いで、P （Y | Xは）ロジスティックであろう。$x|y = 0 \sim \mathrm{Poisson}(λ_0)$$x|y = 1 \sim \mathrm{Poisson}(λ_1)$$p(y|x)$

なぜこれが本当ですか？

は、 Xの任意の値に対して2つの可能な値があります。仮定によれば、$Y$$X$

$$\Pr(X=x|Y=0) = \exp(-\lambda_0) \frac{\lambda_0^x}{x!}$$

そして

$$\Pr(X=x|Y=1) = \exp(-\lambda_1) \frac{\lambda_1^x}{x!}.$$

したがって、可能性（これは、ベイズの定理の自明な場合である）、を条件されている相対後者の確率、すなわち、$Y=1$$X=x$

$$\Pr(Y=1|X=x) = \frac{\exp(-\lambda_1) \frac{\lambda_1^x}{x!}}{\exp(-\lambda_1) \frac{\lambda_1^x}{x!} + \exp(-\lambda_0) \frac{\lambda_0^x}{x!}}= \frac{1}{1 + \exp(\beta_0 + \beta_1 x)}$$

どこ

$$\beta_0 = \lambda_1 - \lambda_0$$

そして

$$\beta_1 = -\log(\lambda_1/\lambda_0).$$

それは確かに標準的なロジスティック回帰モデルです。