言う$Y$連続確率変数であり、そして$X$離散的なものです。

$$\Pr(X=x|Y=y) = \frac{\Pr(X=x)\Pr(Y=y|X=x)}{\Pr(Y=y)}$$

ご存知のように、Yは連続確率変数であるため、です。そして、これに基づいて、確率Pr （X = x | Y = y ）は未定義であると結論づけたくなります。$\Pr(Y=y) = 0$$Y$$\Pr(X=x|Y=y)$

しかし、ウィキペディアはここに主張する：以下のように、それが実際に定義されていること

$$\Pr(X=x|Y=y) = \frac{\Pr(X=x) f_{Y|X=x}(y)}{f_Y(y)}$$

質問：ウィキペディアがその確率を定義するためにどのように管理したのですか？

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私の試み

制限に関してWikipediaの結果を取得するための私の試みは次のとおりです：

$$\begin{split}\require{cancel} \Pr(X=x|Y=y) &= \frac{\Pr(X=x)\Pr(Y=y|X=x)}{\Pr(Y=y)}\\ &= \lim_{d \rightarrow 0}\frac{\Pr(X=x) \big(d \times f_{Y|X=x}(y)\big)}{\big(d \times f_Y(y)\big)}\\ &= \lim_{d \rightarrow 0}\frac{\Pr(X=x) \big(\cancel{d} \times f_{Y|X=x}(y)\big)}{\big(\cancel{d} \times f_Y(y)\big)}\\ &= \frac{\Pr(X=x) f_{Y|X=x}(y)}{f_Y(y)}\\ \end{split}$$

現在、$\Pr(X=x|Y=y)$は\ frac {\ Pr（X = x）f_ {Y | X = x}（y）} {f_Y（y）}と定義されているようで$\frac{\Pr(X=x) f_{Y|X=x}(y)}{f_Y(y)}$、これはウィキペディアの主張。

それはウィキペディアがそれをした方法ですか？

しかし、私は今でもここで微積分を乱用していると感じています。したがって、私はは未定義であると思いますが、とを定義するために可能な限り近づく範囲内で、しかし必ずしもそうではない場合、が定義されます。$\Pr(X=x|Y=y)$$\Pr(Y=y)$$\Pr(Y=y|X=x)$$\Pr(X=x|Y=y)$

しかし、私が行った制限のトリックなど、多くのことについてはほとんど確信がありません。おそらく、自分がしたことの意味を完全には理解していないように思えます。

条件付き確率分布、、は、式解として正式に定義されていますここで、は、の分布に関連付けられた代数を示します。これらのソリューションの1つは、Wikipediaに示されているベイズの（1763）式によって提供されます。$\mathbb{P}(X=x|Y=y)$$x\in\mathcal{X}$$y\in\mathcal{Y}$

$$\mathbb{P}(X=x,Y\in A)=\int_{A}\mathbb{P}(X=x|Y=y)f_Y(y)\text{d}y\quad\forall A\in\sigma(\mathcal{Y})$$ $\sigma(\mathcal{Y})$$\sigma$$Y$ $$\mathbb{P}(X=x|Y=y) = \dfrac{\mathbb{P}(X=x) f_{Y|X=x}(y)}{f_Y(y)}\qquad\forall x\in\mathcal{X},\ y\in\mathcal{Y}$$ ゼロ小節セットで任意に定義されているバージョンも有効です。$\sigma(\mathcal{Y})$

確率が0である孤立した仮説に関する条件付き確率の概念は許容されません。なぜなら、この円を、与えられた極を持つ球面全体を子午線円に分解する要素と見なす場合にのみ、子午線上の[緯度]の確率分布を取得できるためです —  Andrei Kolmogorov

Borel-Kolmogorovパラドックスで示されているように、特定の値 可能性がある場合、条件付き確率分布 は、イベントはゼロですが、このイベントは -algebraの無限範囲に対して測定可能であると解釈できるためです。$y_0$$Y$$\mathbb{P}(X=x|Y=y_0)$$\{\omega;\,Y(\omega)=y_0\}$$\sigma$

注：Terry Taoのブログの確率論のレビューから、さらに正式な紹介があります：

定義9（崩壊）してみましょう範囲を有するランダム変数である。基礎となるサンプル空間に関する分解は、完全なメジャー のサブセットです（したがって、ほぼ確実に）、一緒に確率測度の割り当てと部分空間上のの 各、これはマップという意味で測定可能です$Y$$R$$(R', (\mu_y)_{y \in R'})$$\Omega$$Y$$R'$$R$$\mu_Y$$Y \in R'$${\bf P}(|Y=y)$$\Omega_y := \{ \omega \in \Omega: Y(\omega)=y\}$$\Omega$$y \in R$$y \mapsto {\bf P}(F|Y=y)$すべてのイベントで測定可能であり、そのようなすべてのイベントでとなります。ここで、（ほぼ確実に定義される）ランダム等しいと定義された変数であるたびに。$F$

$$\displaystyle {\bf P}(F) = {\bf E} {\bf P}(F|Y)$$ ${\bf P}(F|Y)$${\bf P}(F|Y=y)$$Y=y$

このような分解が与えられた場合、を部分空間 （誘導された -algebra）で置き換えることにより 任意ののイベント条件付けできますが、基になる確率測度と。したがって、（無条件の）イベントと確率変数をこのイベントに条件付けして、条件付き空間に条件付きイベントと確率変数 し、条件付き確率$Y=y$$y \in R'$$\Omega$$\Omega_y$$\sigma$${\bf P}$${\bf P}(|Y=y)$$F$$X$$(F|Y=y)$$(X|Y=y)$${\bf P}(F|Y=y)$（これは、この式の既存の表記と一致しています）および条件付き期待値（この条件付き空間での絶対可積分性を想定しています）。我々は次に、設定（ほぼ確実に定義される）ランダム等しいと定義された変数であるとたびに。${\bf E}(X|Y=y)$${\bf E}(X|Y)$${\bf E}(X|Y=y)$$Y=y$

が連続的でが離散的である場合、ピースがどのようにフィットするかを示します。$Y$$X$

混合関節密度：

$$f_{XY}(x,y)$$

限界密度と確率：

$$f_Y(y) = \sum_{x \in X} f_{XY}(x, y)$$

$$P(X = x) = \int f_{XY}(x, y) \;dy$$

条件付き密度と確率：

$$f_{Y\mid X}(y \mid X = x) = \frac{f_{XY}(x, y)}{P(X=x)}$$

$$P(X=x \mid Y = y) = \frac{f_{XY}(x, y)}{f_Y(y)}$$

ベイズ規則：

$$f_{Y\mid X}(y \mid X = x) = \frac{P(X=x \mid Y = y) f_Y(y)}{P(X=x)}$$

$$P(X=x \mid Y = y) = \frac{f_{Y\mid X}(y \mid X = x)P(X=x)}{f_Y(y)}$$

もちろん、確率に対処する現代の厳密な方法は、メジャー理論によるものです。正確な定義については、西安の答えを参照してください。

Wikipediaの記事では実際には次の定義を使用していることに注意してください： つまりは、結果を密度として扱いますが、確率ではありません。したがって、が連続で離散である場合、は未定義であるとあなたは正しいと思います。そのため、代わりに、確率密度のみを考慮します。

$$f_X(x|Y=y) = \frac{P(Y=y|X=x)f_X(x)}{p(Y=y)}$$ $P(X=x|Y=y)$$X$$Y$$X$

編集：表記についての混乱のため（コメントを参照）、上記は実際には穴居人が尋ねていたのとは反対の状況を指します。