パラメータが1つしかない場合、カイ2乗分布はどのようにガンマ分布になりますか？

分布のガンマファミリーは2パラメーターファミリーであることは知っていますが、カイ2乗には1つのパラメーターしかありません。

chi-squared gamma-distribution

— 簡単な
ソース

分布ガンマである分布：スケールパラメータは、常にに等しい。

χ_{ν}^{2}

$\chi^2_\nu$

(ν / 2, 1 / 2)

$(\nu/2,1/2)$

1 / 2

$1/2$

— 西安

標準正規分布にはパラメーターがありません。では、どうして正規分布になるのでしょうか？

— whuber

@whuber、法線はパラメーターとして平均と分散を持っているので、ガンマdist'b'nであることは明らかでした。

— シンプルな

標準通常はパラメータはありません。

— whuber

ガンマ分布確率変数のpdfから始めましょう。ここで、は形状パラメーター、はレートパラメーターです（がスケールパラメーターの場合、pdfは少し異なります。両方のパラメーターは厳密に正です）。： $X$ $\alpha$ $\beta$ $\beta$

f_{バツ} （ バツ ） = \frac{{バツ}^{α - 1} β^{α} e^{- β バツ}}{Γ （ α ）}

$f_X(x) = \frac{x ^ {\alpha - 1} \beta ^ \alpha e ^ {-\beta x}}{\Gamma(\alpha)}$

ここで、およびます。上記の式でこれらの置換を行った後、 $\alpha = \nu / 2$ $\beta = 1/2$

f_{バツ} （ バツ ） = \frac{{バツ}^{\frac{ν}{2} - 1} e^{- バツ / 2}}{Γ （ ν / 2 ） 2^{ν / 2}} 、

$f_X(x) = \frac{x ^ {\frac{\nu}{2} - 1} e ^ {-x / 2}}{\Gamma(\nu / 2) 2 ^ {\nu / 2}},$

これは、カイ二乗分布確率変数の確率密度関数として認識できます。を定数（1/2）として固定したので、2パラメーターの確率変数を1つのパラメーターのみに依存する変数（）に変換しました。 $\beta$ $\nu$

— ウォルジル・レオンシオ
ソース