2つの標準正規確率変数は常に独立していますか？

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平均と分散がそれぞれ0と1に固定されているため、標準正規分布は一意であることを学びました。この事実から、2つの標準ランダム変数は独立している必要があるのでしょうか。

normal-distribution independence

— C.ホーク
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なぜそうなのか？独立は配布とは関係ありません。

— ティム

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とについて考えます。彼らは独立していません。

X

$X$

X

$X$

— djechlin 16

これは実用的な見地から役立つことがあります。stats.stackexchange.com/questions/15011/…– JustGettinStarted 16

— 19:34に

与えられた素敵な例に加えて、一般にN（0 ,!）周辺分布をもつ二変量正規分布を考えてください。-1と1の間には相関関係があります。以下の例はすべて特別な場合です。余談ですが、2つの標準正規変数が従属することは可能ですが、二変量分布はありません。

— マイケルR.チャーニック

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バットマンは、私が提案しているものと同じ一般的な結果を与えることに気付きます。Y = -Xの場合、相関は-1であるため、2変量正規の縮退形です。私はここで（この投稿で）二変量正規ではないケースを説明する例を見ていない。

— マイケルR.チャーニック

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答えはいいえだ。たとえば、が標準のランダム変数である場合、は同じ統計に従いますが、とは明らかに依存しています。 $X$ $Y=-X$ $X$ $Y$

— ザップ
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いいえ、2つの標準ガウス分布が独立していると考える理由はありません。

これは簡単な数学的構造です。仮定しとある二つの独立した標準正規変数。その後、ペア $X$ $Y$

X, \frac{X + Y}{\sqrt{2}}

$X, \frac{X + Y}{\sqrt{2}}$

2つの従属標準標準変数です。したがって、それらが2つの独立した通常変数である限り、2つの従属変数が存在する必要があります。

2番目の変数は正常です。これは、独立した正常変数の線形結合が再び正常になるためです。は、分散を等しくするためにあります。 $\sqrt{2}$ $1$

V （ \frac{バツ + Y}{\sqrt{2}} ） = \frac{1}{{\sqrt{2}}^{2}} （ V （ バツ ） + V （ Y ） ） = 1

$V \left(\frac{X + Y}{\sqrt{2}} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}^2} (V(X) + V(Y)) = 1$

の値を知っていると、2番目の変数の値を予測するために使用できる追加情報が得られるため、直観的にこれらは依存しています。たとえば、であることがわかっている場合、2番目の変数の条件付き期待値は $X$ $X = x$

E [\frac{バツ + Y}{\sqrt{2}} ∣ バツ = バツ] = \frac{バツ}{\sqrt{2}}

$E \left[\frac{X + Y}{\sqrt{2}} \mid X = x \right] = \frac{x}{\sqrt{2}}$

— マシュー・ドゥルーリー
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これはかなり広い答えです：

レッツ（任意のためのすなわち共同ガウス確率変数である実数、ガウス分布を持っています）。そして、とは、場合にのみ独立してい（つまり、それらは無相関です）。詳細については、これらの注意事項を参照してください。 $X,Y$ $a,b$ $a X + bY$ $X$ $Y$ $E[(X-E[X])(Y-E[Y])]=0$

独立ではない標準の正規確率変数をどのように生成できますか？フォームのお気に入りのマトリックスを選ぶように内の正根有する。次に、コレスキー分解をに適用します。次に、2つの独立した標準正規ランダム変数を取得し、次にベクトル $\Sigma=\begin{bmatrix} 1 & p \\ p & 1 \end{bmatrix}$ $(\lambda-1)^2 - p^2$ $\lambda$ $\Sigma= R R^T$ $U,V$ $R \begin{bmatrix} U \\ V \end{bmatrix}$ には標準の正規成分がありますが、成分は場合にのみ独立しています。 $p=0$

— バットマン
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非二変量の通常の例（Michael Chernickがコメントで示唆しているように）：

ましょう。 $f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{\pi} e^{-\frac{x^2+y^2}{2}} & xy\geq 0 \\ 0 & o.w. \end{cases}$

$f_{X,Y}(x,y) \neq f_X(x) f_Y(y)$

— バットマン
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