重要度サンプリングによって生成されたモンテカルロ推定の結果

私は過去1年間、重要性のサンプリングにかなり密接に取り組んでおり、いくつかの自由回答形式の質問があります。

重要度サンプリングスキームに関する私の実際の経験は、それらが時折素晴らしい低分散と低バイアスの推定値を生成できることです。ただし、より頻繁に、サンプル分散が低いが非常に高いバイアスを持つ高エラー推定値を生成する傾向があります。

重要性サンプリング推定の有効性に影響を与える要因の種類を誰かが正確に説明できるかどうか疑問に思っていますか？特に、私は疑問に思っています：

1）バイアス分布が元の分布と同じサポートを持っている場合、重要度サンプリング推定値は正しい結果に収束することが保証されていますか？もしそうなら、なぜこれが実際にそれほど時間がかかるように見えるのですか？

2）重要度サンプリングを通じて生成された推定値の誤差とバイアス分布の「品質」（つまり、ゼロ分散分布と一致する程度）の間に定量化可能な関係がありますか

3）1）および2）に部分的に基づいています-単純なモンテカルロ法よりも重要度サンプリングの設計を使用するほうがよい前に、分布について知る必要がある「量」を定量化する方法があります。

重要度サンプリングの検証は、基本的なモンテカルロアプローチとまったく同じです。中核は、基本的なモンテカルロ法です。確かに、それは行くから、単に参照指標の変化であり、 に ∫ H （X ）F （X

$$\int h(x) f(x) \text{d}x$$ $$\int h(x) \dfrac{f(x)}{g(x)} g(x) \text{d}x$$ したがって、両方の場合、つまりからシミュレートするかgからシミュレートするかにかかわらず、収束は多数の法則によって保証されます。また、用語場合 ∫ H 2（X ）、F 2（X $f$$g$ は有限であり、中心極限定理も適用され、収束速度はO（1/ $$\int h^2(x) \dfrac{f^2(x)}{g(x)} \text{d}x$$ 。「実際に非常に時間がかかる」場合は、CLTの上記の変動要因が非常に大きくなる可能性があるためです。しかし、私は主張し、速度は通常のモンテカルロと同じです、O（1/$\text{O}(1/\sqrt{n})$。$\text{O}(1/\sqrt{n})$

したがって、重要度サンプリング分布の品質は、上記の分散係数と直接関係しており、比例する「ゼロ分散分布」ではゼロになります。h （x ）| f （x ）。$|h(x)|f(x)$

西安は標準的な重要度のサンプリング結果をカバーしています。自己正規化された重要度サンプリングについて質問している場合は、あなただけが知っている$f$$g$

$$\delta=\int h(x)f(x)\text{d}x$$ $x_1,\ldots,x_n$$g(x)$ $$\hat{\delta}=\frac{\sum_{i=1}^n h(x)f(x)/g(x)}{\sum_{i=1}^n f(x)/g(x)}.$$ $X/Y$$\omega(X)=f(x)/g(X)$ $$E_g(\hat{\delta})\approx \delta + \frac{\delta \text{Var}_g(\omega(X))-\text{Cov}_g(\omega(X),h(X)\omega(X))}{n}$$ $$\text{Var}_g(\hat{\delta})\approx\frac{\text{Var}_g(h(X)\omega(X))-2\delta\text{Cov}_g(\omega(X),h(X)\omega(X))+\delta^2\text{Var}_g(\omega(X))}{n}.$$

$\text{Var}_g(\omega(X))$$\text{Cov}_g(\omega(X),h(X)\omega(X))$