歪度がゼロであるが対称ではない単峰性分布の例を誰かが提供できますか？

2010年5月、WikipediaユーザーのMcorazaoは、歪度の記事に「ゼロの値は、値が平均の両側に比較的均等に分布していることを示します。通常、対称分布を意味するわけではありません」ただし、wikiページには、この規則に違反する分布の実際の例はありません。「歪みがゼロの非対称分布の例」をグーグルで検索しても、少なくとも最初の20の結果では実際の例はありません。

定義を用いてスキューによって算出される、およびR式$\operatorname{E}\Big[\big(\tfrac{X-\mu}{\sigma}\big)^{\!3}\, \Big]$

sum((x-mean(x))^3)/(length(x) * sd(x)^3)

歪度を低くするために、小さな任意の分布を作成できます。たとえば、分布

x = c(1, 3.122, 5, 4, 1.1) 

スキュー生み出す。しかし、これは小さなサンプルであり、さらに対称性からの逸脱は大きくありません。それで、非常に非対称であるが、歪度がほぼゼロである1つのピークを持つより大きな分布を構築することは可能ですか？$-5.64947\cdot10^{-5}$

離散分布を検討してください。 上に支持されている一つ値X 1は、xは2、··· 、X K非負確率によって決定され、P 1、P 2、... 、Pのk個の条件に従うが、（）は、1に合計は、（B）歪度係数は0（3番目の中心モーメントがゼロに等しい）に等しくなります。これにより、k − 2の自由度が残ります（統計的なものではなく、方程式を解決する意味で！）。ユニモーダルなソリューションを見つけることができます。$k$$x_1, x_2,\ldots, x_k$$p_1, p_2,\ldots, p_k$$k-2$

簡単な例のために検索を行うために、私が小さい対称のベクター上に担持溶液求めに固有のモードに0、平均ゼロ、ゼロ歪度を。そのような解決策である（P 1、... 、P 7）= （1396 、3286 、9586 、47386 、8781 、3930 $\mathbf{x}=(-3,-2,-1,0,1,2,3)$$0$。$(p_1, \ldots, p_7) = (1396, 3286, 9586, 47386, 8781, 3930, 1235)/75600$

非対称であることがわかります。

ここでより明らかに非対称溶液だ（非対称である）と、P = （1 、18 、72 、13 、4 ）/ 108：$\mathbf{x} = (-3,-1,0,1,2)$$p = (1,18, 72, 13, 4)/108$

何が起こっているのかが明らかです：平均がに等しいため、負の値が3番目の瞬間に（− 3 ）3 = − 27および18 × （− 1 ）3 = − 18を寄与し、正の値が4 × 2 3 =を寄与します32と13 × 1 3 = 13で、負の寄与を正確にバランスさせています。x =など、0について対称な分布をとることができます。$0$$(-3)^3=-27$$18 \times (-1)^3=-18$$4\times 2^3 = 32$$13 \times 1^3 = 13$$0$と P = （1 、4 、1 ）/ 6、及びより少ない質量をシフト + 1に + 2、より少ない質量 + 1まで - 1、及び質量のわずかな量ダウン - 3で平均値を保ち、 0と歪度に$\mathbf{x}=(-1,0,1)$$\mathbf{p}=(1,4,1)/6$$+1$$+2$$+1$$-1$$-3$$0$$0$同様に、非対称性を作成します。同じアプローチは、連続分布の非対称性を維持しながら、平均分布と歪度をゼロに維持するために機能します。質量シフトにあまり積極的でなければ、単相のままです。

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編集：連続分布

問題が頻繁に発生するため、連続分布を使用した明示的な例を挙げましょう。ピーター・フロムは良い考えを持っていました：法線の混合物を見てください。2つの法線を混合しても効果はありません。歪度がなくなると、対称になります。次の最も簡単なケースは、3つの法線の混合です。

位置とスケールを適切に選択した後の3つの法線の混合物は、6つの実際のパラメーターに依存するため、非対称のゼロスキューソリューションを生成するのに十分な柔軟性が必要です。いくつかを見つけるには、法線の混合の歪度を計算する方法を知る必要があります。これらの中で、私たちはユニモーダルなものを検索します（どれも存在しない可能性があります）。

今、一般に、場合（非中央）は、標準正規分布のモーメントはゼロであり、Rが奇数であり、そうでない場合は等しい2 R / 2 Γ （1 - $r^\text{th}$$r$。我々は、標準偏差有するように、標準正規分布をスケール変更するときσを、R番目のモーメントが乗算されますσR。任意の分布をμだけシフトすると、新しいr番目のモーメントは、rまでのモーメントで表すことができます。分布の混合のモーメント（つまり、分布の加重平均）は、個々のモーメントの同じ加重平均です。最後に、3番目の中心モーメントがゼロのとき、歪度は正確にゼロであり、これは最初の3つのモーメントに関して容易に計算されます。$2^{r/2}\Gamma\left(\frac{1-r}{2}\right)/\sqrt{\pi}$$\sigma$$r^\text{th}$$\sigma^r$$\mu$$r^\text{th}$$r$

これにより、問題に対する代数攻撃が可能になります。私が見つけた一つの解決策は、パラメータで三面の法線の等量混合物であるに等しい（0 、1 ）、（1 / 2 、1 ）、及び（0 、$(\mu, \sigma)$$(0,1)$$(1/2,1)$。その平均等号（0+1/2+0）/3=1/6。この画像は、pdfを青で示し、分布のpdfの平均を赤で反転しています。それらが異なることは、両方が非対称であることを示しています。（モードは約0.0519216で、1/6の平均とは等しくありません。） 両方とも、構造上、歪みはゼロです。$(0, \sqrt{127/18}) \approx (0, 2.65623)$$(0 + 1/2 + 0)/3 = 1/6$$0.0519216$$1/6$

プロットは、これらが単峰性であることを示しています。（局所的な最大値を見つけるためにCalculusを使用して確認できます。）

これはhttps://www.qualitydigest.com/inside/quality-insider-article/problems-skewness-and-kurtosis-part-one.html#で見つけたもので、Rで見事に再現されています：逆バーまたは、形状パラメーターおよびc = 18.1484のダガム分布：$k=0.0629$$c=18.1484$

$$g(x) = ckx^{-(c+1)}[1+x^{-c}]^{-(k+1)}$$

平均値は0.5387、標準偏差は0.2907、歪度は0.0000、尖度は2.0000です。ソースはそれを「象の分布」とも呼びます：

Rでの私の複製は、

library(actuar)
library(knotR)

# a nonsymmetric distribution with zero skewness
# see https://www.qualitydigest.com/inside/quality-insider-article/problems-skewness-and-kurtosis-part-one.html#

c <- 18.1484
k <- 0.0629

x <- seq(0,1.5,by=.0001)

elephant.density <- dinvburr(x, k, c)
plot(x,elephant.density, type="l")
polygon(c(min(x),x),c(min(elephant.density),elephant.density), col="grey")
points(0.8,0.8, pch=19, cex=2)

# "ears" created via https://www.desmos.com/calculator/cahqdxeshd
ear.x <- c(0.686, 0.501, 0.42, 0.68)
ear.y <- c(0.698, 0.315, 1.095, 0.983)

myseg(bezier(cbind(ear.x, ear.y)), type="l")

EX <- gamma(k+1/c)*gamma(1-1/c)/gamma(k) # see p6 of https://wwz.unibas.ch/uploads/tx_x4epublication/23_07.pdf
EX2 <- gamma(k+2/c)*gamma(1-2/c)/gamma(k)
EX3 <- gamma(k+3/c)*gamma(1-3/c)/gamma(k)
(skewness <- (EX3 - 3*EX*(EX2-EX^2)-EX^3)/(EX2-EX^2)^(3/2)) # zero to three digits: 0.0003756196

$k$$c$

   # optimize skewness a bit further
    skewval <- 1

while (skewval > 10^(-10)){
  optskew.k <- uniroot(skewness.fun, lower = k*.95, upper = k*1.1, tol=skewval^2, c=c)
  skewval <- optskew.k$f.root
  k <- optskew.k$root

  optskew.c <- uniroot(skewness.fun, lower = c*.95, upper = c*1.1, tol=skewval^2, k=k)
  skewval <- optskew.c$f.root
  c <- optskew.c$root
}

降伏

> print(c)
[1] 18.89306

> print(k)
[1] 0.05975542

> print(skewval)
[1] -1.131464e-15

0からモードまで直線的に増加し、モードの右側で指数関数的であるが、モードで連続している実線の正の半分の分布を考えます。

これは、三角指数分布と呼ばれる可能性があります（ただし、フカヒレのように見えることがよくあります）。

$\theta$$\lambda$

$\lambda\theta$$\lambda\theta$$\approx 6.15$

$^{[1]}$$^{[2]}$

スレッドは、歪度がゼロで過剰な尖度がゼロの非正規分布ですか？いくつかの非対称の例があり、小さな離散的な例と別の連続的な単峰性の例を含みます。

歪度がゼロの離散単峰性分布（または同等のサンプル）は、サイズが大きくても小さくても非常に簡単に構築できます。

次に例を示します。サンプルとして、または（生の周波数を3000で除算して）pmfとして扱うことができます（「x」値は取得した値、「n」はその値がサンプルで発生する回数です） ）：

x:  -2   -1    0    1    2    3    4    5    6    7    8    9   10
n: 496  498  562 1434    2    1    1    1    1    1    1    1    1

この例は、3点分布から構築されています。

x:          -2              1                  c
n:   c(c-1)(c+1)/6     c(c-1)(c+1)/3 - c       1

$c$$c$$\sum_i n_ix_i =0$$\sum_i n_ix_i^3 =0$$c$

構築できる他のこのような「原子」にはさまざまな方法がありますが、この例ではこの1種類のみを使用しています。これらの原子のいくつかの組み合わせに、対称的に配置された値をいくつか追加して、残りの穴を埋め、平均および三次モーメントの構造を破壊することなく単峰性を保証します。

$[1]$

$[2]$

はい。これを試して：

skew= function (x, na.rm = FALSE) 
 {
    if (na.rm)    x <- x[!is.na(x)]             #remove missing values
    sum((x - mean(x))^3)/(length(x) * sd(x)^3)  #calculate skew   
 }

set.seed(12929883) 
x = c(rnorm(100, 1, .1), rnorm(100, 3.122, .1), rnorm(100,5, .1), rnorm(100, 4, .1), rnorm(100,1.1, .1))

 skew(x)
 plot(density(x))

（あなたはすでに難しいことをしました！）

$$\operatorname{E}\Big[\big(\tfrac{X-\mu}{\sigma}\big)^{\!3}\, \Big] = 0$$ $$\operatorname{E}\Big[\big(\tfrac{X-\mu}{\sigma}\big)^{\!3}\, \Big | X \leq \mu \Big] + \operatorname{E}\Big[\big(\tfrac{X-\mu}{\sigma}\big)^{\!3}\, \Big | X \gt \mu \Big] = 0.$$

$Y$$Z$$\mu$

$$\operatorname{E}\Big[\big(\tfrac{Y-\mu}{\sigma}\big)^{\!3}\, \Big] = \operatorname{E}\Big[\big(\tfrac{Z-\mu}{\sigma}\big)^{\!3}\, \Big]$$ $X$$Y$$\mu$$(\mu - Z)$

$Y$$Z$$\mu$$\mu$

次の離散分布は非対称であり、歪度はゼロです：Prob（-4）= 1/3、Prob（1）= 1/2、Prob（5）= 1/6。Doric et al。、Qual Quant（2009）43：481-493;の論文で見つけました。DOI 10.1007 / s11135-007-9128-9