相関する確率変数の比率の期待値？

独立確率変数および場合、閉じた形の式がありますか $\alpha$ $\beta$

$\mathbb E \left[ \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} \right]$

との期待値と分散の観点から？そうでない場合、その期待には十分な下限がありますか？ $\alpha$ $\beta$

更新：とについても触れて。私は上の分散制御することができますと、そして両方の分散ところ、私は心の中で設定を持っているととかなり小さな相対的なもので。多分それらの標準偏差はどちらも0.3未満です。 $\mathbb E[\alpha] = 1$ $\mathbb E[\beta] = 0$ $\alpha$ $\beta$ $\alpha$ $\beta$ $\mathbb E[\alpha]$

— ジェフ
ソース

おそらく違います。明示的な形式はありますか？

α, β

$\alpha,\beta$

— Alex R.

残念ながら私はしません。私には、それらの分散の平均と上限があります。期待値の分析的な下限について何か考えはありますか？常に0と1の間です。チェビシェフの不等式で何かをすることを考えましたが、もっと良い方法があるかどうか疑問に思いました。

— ジェフ

と共同分布を知っていますか？例えば。多変量正常？

α

$\alpha$

β

$\beta$

— Matthew Gunn

いいえ、私はそれらが多変量正常であるとは思いません。私は彼らが独立していることを知っています。どちらもおおむね正常であると思いますが、それに頼ることはできません。真の下限が必要です。質問してくれてありがとう！

— ジェフ

下限は1つだと思いましたが、それほどきついとは思いません。私はの平均よりも小さい任意の値と平均の周りの別の任意の値を選ぶだけです。期待値は非負の確率変数であり、とは独立しているため、 $\alpha$ $\beta^2$ $\alpha$ $\beta$

$\mathbb E \left[ \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} \right] \ge \frac{1}{\sqrt{2}}\mathbb P(\alpha \ge \frac{1}{2}) \mathbb P(\beta^2 \le\frac{1}{4})$ 。

チェビシェフの不等式により、

$\mathbb P(\alpha \ge \frac{1}{2}) = \mathbb P(\alpha - 1 \ge -\frac{1}{2}) \ge \mathbb P(|\alpha - 1| \le \frac{1}{2}) = 1 - \mathbb P(|\alpha - 1| \ge \frac{1}{2}) \ge 1 - 4\mathrm{var}(\alpha)$

マルコフの不等式により、

$\mathbb P(\beta^2 \le\frac{1}{4}) = 1 - \mathbb P(\beta^2 \ge\frac{1}{4}) \ge 1 - 4 \mathbb E[\beta^2] = 1 - 4\mathrm{var}(\beta)$

したがって、

$\mathbb E \left[ \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} \right] \ge \frac{1}{\sqrt{2}} (1 - 4 * 0.3^2) (1 - 4 * 0.3^2) > 0.28$

私がここでやっていることを行うためのより標準的/体系的な方法ですか？

— ジェフ
ソース

0.28

$0.28$

α

$\alpha$

(1 + p) / (1 - p)

$(1+p)/(1-p)$

1 - p

$1-p$

- 1

$-1$

p

$p$

1

$1$

β

$\beta$

| α |

$|\alpha|$

α / \sqrt{α^{2} + β^{2}}

$\alpha/\sqrt{\alpha^2+\beta^2}$

- 1

$-1$

p

$p$

1

$1$

1 - p

$1-p$

1 - 2 p

$1-2p$

p \approx 1

$p\approx 1$

- 1

$-1$

p

$p$

α

$\alpha$

α

$\alpha$

β

$\beta$

0.3

$0.3$

私は自分の答えに欠陥があることに気づきました：私はと仮定しました

α / \sqrt{α^{2} + β^{2}} \geq 0

$\alpha / \sqrt{\alpha ^2 + \beta^2} \ge 0$

α / \sqrt{α^{2} + β^{2}} \geq - 1

$\alpha / \sqrt{\alpha ^2 + \beta^2} \ge -1$

- σ^{2} (2 + σ^{2})

$-\sigma^2(2+\sigma^2)$

α

$\alpha$

σ^{2}

$\sigma^2$

β

$\beta$

α

$\alpha$

(1 + σ^{2}) / (2 + σ^{2})

$(1+\sigma^2)/(2+\sigma^2)$

2 + σ^{2}

$2+\sigma^2$

これで問題は解決したと思います。どうもありがとう。回答として投稿してもらえますか？

— ジェフ、