並べ替えられたリストの分布

アイテムの順序付きリストがあるとしましょう

[a, b, c, ... x, y, z, ...]

上記のリストでサポートされている、いくつかのパラメータalphaによって管理されているディストリビューションのファミリーを探しています。

• alpha = 0の場合、最初のアイテムaに確率1を割り当て、残りに確率0を割り当てます。つまり、このリストからサンプルを抽出すると、置換すると常にが得られaます。
• アルファが増加するにつれて、〜指数関数的減衰に従って、リストの順序を尊重しながら、リストの残りの部分にますます高い確率を割り当てます。
• alpha = 1の場合、リスト内のすべてのアイテムに等しい確率を割り当てるため、リストからのサンプリングはその順序を無視するのと同じです。

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これは幾何学的分布とよく似ていますが、いくつかの顕著な違いがあります。

• 幾何分布分布は、すべての自然数に対して定義されます。上記の私の場合、リストのサイズは固定されています。
• alpha = 0の場合、幾何分布は定義されていません。

のが仮定する、リスト要素のランクI、の値を有し、{ 0 、1 、... 、N - 1 }とリストはn個の要素（タイをランダム破壊することができます）。次に、iを選択する確率を次のように定義します。$r_i$$i$$\{0, 1, \ldots, n-1\}$$n$$i$

$$p_i = \frac{\alpha^{r_i}}{\sum_{k=1}^n \alpha^{r_k}}$$

$\alpha=0$$0^0 = 1$$\alpha < 1$$\frac{1-\alpha^n}{1-\alpha}$$\alpha=1$$n$

$\alpha=1$$\alpha\rightarrow 0$

$\alpha=0.5$

$$p_0 \approx 0.5005 \\ p_1 \approx 0.2502 \\ p_2 \approx 0.1251 \\ p_3 \approx 0.0626 \\ p_4 \approx 0.0313 \\ p_5 \approx 0.0156 \\ p_6 \approx 0.0078 \\ p_7 \approx 0.0039 \\ p_8 \approx 0.0020 \\ p_9 \approx 0.0010$$

$\alpha$

第一原理から例を作ってみます。

ビルディングブロックとして3つのディストリビューションを取り上げます。

• Pは、リストの最初の要素に確率1、その他すべてにゼロを割り当てる分布です。
• $\frac{1}{2}$$\frac{1}{4}$$1$
• Uはリスト全体の均一分布です。

ここで、これらの分布の正の凸の組み合わせの1つのパラメーターファミリーを取得します。

$$\alpha(t) P + \beta(t) E + \gamma(t) U$$

$\alpha(t) + \beta(t) + \gamma(t) = 1$$t \in [0, 1]$$\alpha(0) = 1$$\gamma(1) = 1$

$(\alpha(t), \beta(t), \gamma(t))$$(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)$$t \in (0, 1)$

曲線のオプションは次のとおりです。

$$(1 - t(1-t)) \left(1 - t, 0, t \right) + t(1 - t) \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right)$$

$(1-t, 0, t)$$\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right)$$t \in (0, 1)$