lm（）を使用する場合のRの重み引数の背後にある理論

聞かせて：大学院における年後、 "加重最小二乗"の私の理解は以下の通りである、いくつかのことデザイン行列、はパラメータベクトルであり、は、、ここでおよび。次に、モデル $\mathbf{y} \in \mathbb{R}^n$ $\mathbf{X}$ $n \times p$ $\boldsymbol\beta \in \mathbb{R}^p$ $\boldsymbol\epsilon \in \mathbb{R}^n$ $\boldsymbol\epsilon \sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, \sigma^2\mathbf{V})$ $\mathbf{V} = \text{diag}(v_1, v_2, \dots, v_n)$ $\sigma^2 > 0$

y = X β + ϵ

$\mathbf{y} = \mathbf{X}\boldsymbol\beta + \boldsymbol\epsilon$ 仮定の下では、「加重最小二乗」モデルと呼ばれます。WLSの問題は、最終的に

を見つけることになる

\arg min_{β} {(y - X β)}^{T} V^{- 1} (y - X β) .

$\begin{equation} \arg\min_{\boldsymbol \beta}\left(\mathbf{y}-\mathbf{X}\boldsymbol\beta\right)^{T}\mathbf{V}^{-1}\left(\mathbf{y}-\mathbf{X}\boldsymbol\beta\right)\text{.} \end{equation}$ と仮定

y = {[\begin{matrix} y_{1} & \dots & y_{n} \end{matrix}]}^{T}

$\mathbf{y} = \begin{bmatrix} y_1 & \dots & y_n\end{bmatrix}^{T}$ 、

β = {[\begin{matrix} β_{1} & \dots & β_{p} \end{matrix}]}^{T}

$\boldsymbol\beta = \begin{bmatrix} \beta_1 & \dots & \beta_p\end{bmatrix}^{T}$ 、および

X = [\begin{matrix} x_{11} & \dots & x_{1 p} \\ x_{21} & \dots & x_{2 p} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ x_{n 1} & \dots & x_{n p} \end{matrix}] = [\begin{matrix} x_{1}^{T} \\ x_{2}^{T} \\ ⋮ \\ x_{n}^{T} \end{matrix}] .

$\mathbf{X} = \begin{bmatrix} x_{11} & \cdots & x_{1p} \\ x_{21} & \cdots & x_{2p} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ x_{n1} & \cdots & x_{np} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{x}_{1}^{T} \\ \mathbf{x}_{2}^{T} \\ \vdots \\ \mathbf{x}_{n}^{T} \end{bmatrix}\text{.}$

x_{i}^{T} β \in R^{1}

$\mathbf{x}_i^{T}\boldsymbol\beta\in \mathbb{R}^1$ なので、

y - X β = [\begin{matrix} y_{1} - x_{1}^{T} β \\ y_{2} - x_{2}^{T} β \\ ⋮ \\ y_{n} - x_{n}^{T} β \end{matrix}] .

$\mathbf{y}-\mathbf{X}\boldsymbol\beta = \begin{bmatrix} y_1-\mathbf{x}_{1}^{T}\boldsymbol\beta \\ y_2-\mathbf{x}_{2}^{T}\boldsymbol\beta \\ \vdots \\ y_n-\mathbf{x}_{n}^{T}\boldsymbol\beta \end{bmatrix}\text{.}$ これにより、

\begin{aligned} (y - X β)^{T} V^{- 1} & = [\begin{matrix} y_{1} - x_{1}^{T} β & y_{2} - x_{2}^{T} β & \dots & y_{n} - x_{n}^{T} β \end{matrix}] diag (v_{1}^{- 1}, v_{2}^{- 1}, \dots, v_{n}^{- 1}) \\ = [\begin{matrix} v_{1}^{- 1} (y_{1} - x_{1}^{T} β) & v_{2}^{- 1} (y_{2} - x_{2}^{T} β) & \dots & v_{n}^{- 1} (y_{n} - x_{n}^{T} β) \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{align} (\mathbf{y}-\mathbf{X}\boldsymbol\beta)^{T}\mathbf{V}^{-1} &= \begin{bmatrix} y_1-\mathbf{x}_{1}^{T}\boldsymbol\beta &y_2-\mathbf{x}_{2}^{T}\boldsymbol\beta & \cdots & y_n-\mathbf{x}_{n}^{T}\boldsymbol\beta \end{bmatrix}\text{diag}(v_1^{-1}, v_2^{-1}, \dots, v_n^{-1}) \\ &= \begin{bmatrix} v_1^{-1}(y_1-\mathbf{x}_{1}^{T}\boldsymbol\beta) &v_2^{-1}(y_2-\mathbf{x}_{2}^{T}\boldsymbol\beta) & \cdots & v_n^{-1}(y_n-\mathbf{x}_{n}^{T}\boldsymbol\beta) \end{bmatrix} \end{align}$ v_n ^ {-1}（y_n- \ mathbf {x} _ {n} ^ {T} \ boldsymbol \ beta）\ end {bmatrix} \ end {align} したがって、

\arg min_{β} {(y - X β)}^{T} V^{- 1} (y - X β) = \arg min_{β} \sum_{i = 1}^{n} v_{i}^{- 1} (y_{i} - x_{i}^{T} β)^{2} .

$\begin{equation} \arg\min_{\boldsymbol \beta}\left(\mathbf{y}-\mathbf{X}\boldsymbol\beta\right)^{T}\mathbf{V}^{-1}\left(\mathbf{y}-\mathbf{X}\boldsymbol\beta\right) \end{equation} = \arg\min_{\boldsymbol \beta}\sum_{i=1}^{n}v_i^{-1}(y_i-\mathbf{x}^{T}_i\boldsymbol\beta)^2\text{.}$

β

$\boldsymbol\beta$ は

\hat{β} = (X^{T} V^{- 1} X)^{- 1} X^{T} V^{- 1} y .

$\hat{\boldsymbol\beta} = (\mathbf{X}^{T}\mathbf{V}^{-1}\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^{T}\mathbf{V}^{-1}\mathbf{y}\text{.}$ これは私がよく知っている知識の範囲です。私はどのように教えられていませんでした

v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n}

$v_1, v_2, \dots, v_n$ 、それはそのようだがによって判断、選択する必要がありますここではその通常、

Var (ϵ) = diag (σ_{1}^{2}, σ_{2}^{2}, \dots, σ_{n}^{2})

$\text{Var}(\boldsymbol\epsilon) = \text{diag}(\sigma^2_1, \sigma^2_2, \dots, \sigma^2_n)$ 、これは直感的に理解できます。（WLS問題では、可変性の高い重みの重みを減らし、変動性の少ない観測の重みを増やします。）

私が特に気になるのは、重みが整数に割り当てられている場合Rに、lm()関数が関数の重みをどのように処理するかです。使用から?lm：

非NULL重みを使用して、異なる観測値に異なる分散があることを示すことができます（重みの値は分散に反比例します）。または同等に、重みの要素が正の整数場合、各応答は単位重み観測の平均です（等しい観測があり、データが要約されている場合を含む）。 $w_i$ $y_i$ $w_i$ $w_i$ $y_i$

この段落を何度か読み直しましたが、意味がありません。上記で開発したフレームワークを使用して、次のシミュレーション値があるとします。

x <- c(0, 1, 2)
y <- c(0.25, 0.75, 0.85)
weights <- c(50, 85, 75)

lm(y~x, weights = weights)

Call:
lm(formula = y ~ x, weights = weights)

Coefficients:
(Intercept)            x  
     0.3495       0.2834

上記で開発したフレームワークを使用して、これらのパラメーターはどのように導出されますか？ここでは手でこれを行うことで、私の試みです：仮定、我々は持っているでこれを行うと、次のようになります（この場合、可逆性は機能しないため、一般化された逆を使用しました）。 $\mathbf{V} = \text{diag}(50, 85, 75)$

\begin{aligned} [\begin{matrix} {\hat{β}}_{0} \\ {\hat{β}}_{1} \end{matrix}] = \\ {([\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}] diag (1 / 50, 1 / 85, 1 / 75) {[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}]}^{T})}^{- 1} {[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}]}^{T} diag (1 / 50, 1 / 85, 1 / 75) [\begin{matrix} 0.25 \\ 0.75 \\ 0.85 \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{align}&\begin{bmatrix} \hat\beta_0 \\ \hat\beta_1 \end{bmatrix} = \\ &\left(\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix}\text{diag}(1/50, 1/85, 1/75)\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix}^{T} \right)^{-1}\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix}^{T}\text{diag}(1/50, 1/85, 1/75)\begin{bmatrix} 0.25 \\ 0.75 \\ 0.85 \end{bmatrix} \end{align}$ R

X <- matrix(rep(1, times = 6), byrow = T, nrow = 3, ncol = 2)
V_inv <- diag(c(1/50, 1/85, 1/75))
y <- c(0.25, 0.75, 0.85)

library(MASS)
ginv(t(X) %*% V_inv %*% X) %*% t(X) %*% V_inv %*% y

         [,1]
[1,] 0.278913
[2,] 0.278913

これらは、lm()出力の値と一致しません。何が悪いのですか？

r linear-model weighted-regression

— クラリネット奏者
ソース

行列はなくありまた、あなたは、ではなく、である必要があります。 $X$

[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}],

$\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1\\ 1 & 2 \end{bmatrix},$

[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}] .

$\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix}.$ V_invdiag(weights)diag(1/weights)

x <- c(0, 1, 2)
y <- c(0.25, 0.75, 0.85)
weights <- c(50, 85, 75)
X <- cbind(1, x)

> solve(t(X) %*% diag(weights) %*% X, t(X) %*% diag(weights) %*% y)
       [,1]
  0.3495122
x 0.2834146

— mark999
ソース

特に間違ったデザインマトリックスを解消していただき、ありがとうございます。私はこの素材にかなり錆びています。それで、最後の質問として、これはWLSの仮定でであることを意味しますか？

Var (ϵ) = diag (1 / weights)

$\text{Var}(\boldsymbol\epsilon) = \text{diag}(1/\text{weights})$

— クラリネット奏者、

はい。ただし、重みは1 /分散に比例する必要があるだけで、必ずしも等しい必要はありません。たとえば、例で使用weights <- c(50, 85, 75)/2すると、同じ結果が得られます。

— mark999 2016年

より簡潔にこれに答えるために、weightsin Rを使用した加重最小二乗回帰は、次の仮定を行いますweights = c(w_1, w_2, ..., w_n)。ましょう、であるデザイン行列、パラメータベクトルであり、そしては、平均と分散行列持つ誤差ベクトルであり、ここでです。次に、元の投稿での導出と同じ手順に従って、 $\mathbf{y} \in \mathbb{R}^n$ $\mathbf{X}$ $n \times p$ $\boldsymbol\beta\in\mathbb{R}^p$ $\boldsymbol\epsilon \in \mathbb{R}^n$ $\mathbf{0}$ $\sigma^2\mathbf{V}$ $\sigma^2 > 0$

V = diag (1 / w_{1}, 1 / w_{2}, \dots, 1 / w_{n}) .

$\mathbf{V} = \text{diag}(1/w_1, 1/w_2, \dots, 1/w_n)\text{.}$

\begin{aligned} \arg min_{β} {(y - X β)}^{T} V^{- 1} (y - X β) & = \arg min_{β} \sum_{i = 1}^{n} (1 / w_{i})^{- 1} (y_{i} - x_{i}^{T} β)^{2} \\ = \arg min_{β} \sum_{i = 1}^{n} w_{i} (y_{i} - x_{i}^{T} β)^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \arg\min_{\boldsymbol \beta}\left(\mathbf{y}-\mathbf{X}\boldsymbol\beta\right)^{T}\mathbf{V}^{-1}\left(\mathbf{y}-\mathbf{X}\boldsymbol\beta\right)&= \arg\min_{\boldsymbol \beta}\sum_{i=1}^{n}(1/w_i)^{-1}(y_i-\mathbf{x}^{T}_i\boldsymbol\beta)^2 \\ &= \arg\min_{\boldsymbol \beta}\sum_{i=1}^{n}w_i(y_i-\mathbf{x}^{T}_i\boldsymbol\beta)^2 \end{align}$ とは、からGLS仮定。

β

$\boldsymbol\beta$

\hat{β} = (X^{T} V^{- 1} X)^{- 1} X^{T} V^{- 1} y

$\hat{\boldsymbol\beta} = (\mathbf{X}^{T}\mathbf{V}^{-1}\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^{T}\mathbf{V}^{-1}\mathbf{y}$

— クラリネット奏者
ソース