ガウス分布のベイズ混合への確率変分推論の適用

この論文に続いて、確率的変分推論で混合ガウスモデルを実装しようとしています。

これはガウス混合のpgmです。

論文によると、確率的変分推論の完全なアルゴリズムは次のとおりです。

そして、私はそれをGMMにスケーリングする方法にまだ非常に混乱しています。

まず、ローカル変分パラメーターはあり、その他はすべてグローバルパラメーターであると考えました。私が間違っていたら訂正してください。ステップ6はどういう意味ですか？これを達成するにはどうすればよいですか？$q_z$as though Xi is replicated by N times

これで私を助けてくれませんか？前もって感謝します！

このチュートリアル（https://chrisdxie.files.wordpress.com/2016/06/in-depth-variational-inference-tutorial.pdf）はほとんどの質問に答えており、おそらく元のSVI論文よりも理解しやすいでしょう。具体的には、ガウス混合モデル（分散が既知）のSVI（および座標上昇VIとギブスサンプリング）の実装の詳細をすべて通過します。

最初に、SVIペーパーを理解するのに役立ついくつかのメモ：

• $N$$N$
• $\eta_g$$\beta$

$k$$\mu_k, \tau_k$$\eta_g$

$$\mu, \tau \sim N(\mu|\gamma, \tau(2\alpha -1)Ga(\tau|\alpha, \beta)$$

$\eta_0 = 2\alpha - 1$$\eta_1 = \gamma*(2\alpha -1)$$\eta_2 = 2\beta+\gamma^2(2\alpha-1)$$a, b, m$$\alpha, \beta, \mu$

$\mu_k, \tau_k$$\dot\eta + \langle\sum_Nz_{n,k}$$\sum_N z_{n,k}x_N$$\sum_Nz_{n,k}x^2_{n}\rangle$$\dot\eta$$z_{n,k}$$\exp\ln(p))$$\prod_N p(x_n|z_n, \alpha, \beta, \gamma) = \prod_N\prod_K\big(p(x_n|\alpha_k,\beta_k,\gamma_k)\big)^{z_{n,k}}$

これで、SVI疑似コードのステップ（5）を次のように完了することができます。

$$\phi_{n,k} \propto \exp (ln(\pi) + \mathbb E_q \ln(p(x_n|\alpha_k, \beta_k, \gamma_k))\\ =\exp(\ln(\pi) + \mathbb E_q \big[\langle \mu_k\tau_k, \frac{-\tau}{2} \rangle \cdot\langle x, x^2\rangle - \frac{\mu^2\tau - \ln \tau}{2})\big]$$

各パラメーターはデータの数またはその十分な統計の1つに対応するため、グローバルパラメーターの更新はより簡単です。

$$\hat \lambda = \dot \eta + N\phi_n \langle 1, x, x^2 \rangle$$

$0$$a, b, m$$\alpha, \beta, \mu$

#!/usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Sun Aug 12 12:49:15 2018

@author: SeanEaster
"""

import numpy as np
from matplotlib import pylab as plt
from scipy.stats import t
from scipy.special import digamma 

# These are priors for mu, alpha and beta

def calc_rho(t, delay=16,forgetting=1.):
    return np.power(t + delay, -forgetting)

m_prior, alpha_prior, beta_prior = 0., 1., 1.
eta_0 = 2 * alpha_prior - 1
eta_1 = m_prior * (2 * alpha_prior - 1)
eta_2 = 2 *  beta_prior + np.power(m_prior, 2.) * (2 * alpha_prior - 1)

k = 3

eta_shape = (k,3)
eta_prior = np.ones(eta_shape)
eta_prior[:,0] = eta_0
eta_prior[:,1] = eta_1
eta_prior[:,2] = eta_2

np.random.seed(123) 
size = 1000
dummy_data = np.concatenate((
        np.random.normal(-1., scale=.25, size=size),
        np.random.normal(0.,  scale=.25,size=size),
        np.random.normal(1., scale=.25, size=size)
        ))
N = len(dummy_data)
S = 1

# randomly init global params
alpha = np.random.gamma(3., scale=1./3., size=k)
m = np.random.normal(scale=1, size=k)
beta = np.random.gamma(3., scale=1./3., size=k)

eta = np.zeros(eta_shape)
eta[:,0] = 2 * alpha - 1
eta[:,1] = m * eta[:,0]
eta[:,2] = 2. * beta + np.power(m, 2.) * eta[:,0]


phi = np.random.dirichlet(np.ones(k) / k, size = dummy_data.shape[0])

nrows, ncols = 4, 5
total_plots = nrows * ncols
total_iters = np.power(2, total_plots - 1)
iter_idx = 0

x = np.linspace(dummy_data.min(), dummy_data.max(), num=200)

while iter_idx < total_iters:

    if np.log2(iter_idx + 1) % 1 == 0:

        alpha = 0.5 * (eta[:,0] + 1)
        beta = 0.5 * (eta[:,2] - np.power(eta[:,1], 2.) / eta[:,0])
        m = eta[:,1] / eta[:,0]
        idx = int(np.log2(iter_idx + 1)) + 1

        f = plt.subplot(nrows, ncols, idx)
        s = np.zeros(x.shape)
        for _ in range(k):
            y = t.pdf(x, alpha[_], m[_], 2 * beta[_] / (2 * alpha[_] - 1))
            s += y
            plt.plot(x, y)
        plt.plot(x, s)
        f.axes.get_xaxis().set_visible(False)
        f.axes.get_yaxis().set_visible(False)

    # randomly sample data point, update parameters
    interm_eta = np.zeros(eta_shape)
    for _ in range(S):
        datum = np.random.choice(dummy_data, 1)

        # mean params for ease of calculating expectations
        alpha = 0.5 * ( eta[:,0] + 1)
        beta = 0.5 * (eta[:,2] - np.power(eta[:,1], 2) / eta[:,0])
        m = eta[:,1] / eta[:,0]

        exp_mu = m
        exp_tau = alpha / beta 
        exp_tau_m_sq = 1. / (2 * alpha - 1) + np.power(m, 2.) * alpha / beta
        exp_log_tau = digamma(alpha) - np.log(beta)


        like_term = datum * (exp_mu * exp_tau) - np.power(datum, 2.) * exp_tau / 2 \
            - (0.5 * exp_tau_m_sq - 0.5 * exp_log_tau)
        log_phi = np.log(1. / k) + like_term
        phi = np.exp(log_phi)
        phi = phi / phi.sum()

        interm_eta[:, 0] += phi
        interm_eta[:, 1] += phi * datum
        interm_eta[:, 2] += phi * np.power(datum, 2.)

    interm_eta = interm_eta * N / S
    interm_eta += eta_prior

    rho = calc_rho(iter_idx + 1)

    eta = (1 - rho) * eta + rho * interm_eta

    iter_idx += 1