収束速度が速いため、という仮説検定にを使用しますか？

私が持っていると仮定し IIDされていると私は、という仮説のテストをしたい 0が、私は大きなNを持っており、中心極限定理を使用することができるとしています。私はまた、テストを行うことができその試験と同等であるべきである0である、 0またある、収束をカイ二乗、ここには法線に収束します。のでより速い収束率を持って、私は、検定統計量のためにすることを使用してはならないので、私はより速い収束率を取得し、テストをより効率的になりますか？ $X_1,\ldots,X_n$ $\mu$ $\mu^2$ $\mu$ $n(\bar{X}^2 - 0)$ $\sqrt{n}(\bar{X} - 0)$ $\bar{X}^2$

私はこの論理が間違っていることを知っていますが、私は長い間考え、検索してきましたが、理由を理解することはできません。

hypothesis-testing convergence delta-method

— シュ・ワン
ソース

あなたが何を求めているのか明確ではありません。

収束速度がの収束速度よりも「速い」ことを、どのような意味で説明できますか？レートをどのように測定していますか？2つのテストでどのテスト統計を使用していますか？明らかに、これらの選択は違いを生むことができます。

{\bar{X}}^{2}

$\bar X^2$

\bar{X}

$\bar X$

— whuber

@whuber質問ありがとう。nはnの平方根よりも大きいため、「高速」と主張しています。その直感は間違っていますか？テスト統計のXバーまたはXバーの2乗を念頭に置いています。

— 徐王

あなたは間違ったことに集中していると思います。このレートは、サンプリング分布が制限の1つ（標準の標準またはどれだけ速く近づくかを示します。

χ^{2} (1)

$\chi^2(1)$ . Since

n

$n$ is large, its value makes no practical difference--it's irrelevant. The issue concerns the power of each test, not how well approximated the test statistic is to the limiting distribution.

— whuber

@whuber thank you for these details. I have been thinking about them but still don't understand. Won't the approximate variance of X-bar^2 eventually be smaller than the approximate variance of X-bar? And isn't that a result of X-bar^2 having a higher rate of convergence than X-bar? I'm sorry for not seeing my fundamental misunderstandings. I know there is something big I am missing and hope to correct such thinking.

— Xu Wang

It doesn't matter whether the approximate variance is larger or smaller, because what counts is the distribution of the statistic. To see this, consider a t-test for

μ = 0

$\mu = 0$ with

x \sim N (0, 1)

$x \sim N(0,1)$ vs

y \sim N (0, 10)

$y \sim N(0,10)$ . The statistic

\bar{y}

$\bar{y}$ always has variance 100x that of

\bar{x}

$\bar{x}$ , but the normalization results in both actual test statistics distributed

t (n - 1)

$t(n-1)$ . In your case, remember that squaring a

N (0, 1)

$N(0,1)$ variate gives a

χ^{2}

$\chi^2$ variate. At the limit, this transformation means that the two tests are identical in terms of their power given a specified level.

— jbowman

Both of the tests you describe are equivalent.

If I have two hypotheses:

H_{0} : μ = 0

$H_0: \mu=0$

H_{1} : μ \neq 0

$H_1: \mu\neq0$

then they are equivalent to

H_{0} : μ^{2} = 0

$H_0: \mu^2=0$

H_{1} : μ^{2} > 0.

$H_1: \mu^2\gt 0.$

If the data are known to be normal, then the sample mean $\bar{X}$ will also be Normal with mean $\mu$ and variance $\sigma^2/n$ (which might be known or unknown).

If the data aren't known to be Normal then you can use the central limit theorem and the above will be true asymptotically. You claim that $\bar{X}^2$ will converge to a chi-squared variable "faster" than $\bar{X}$ will converge to a normal one. This is true in the sense that as $n$ tends to infinity,

P (| \bar{X} - μ | > | {\bar{X}}^{2} - μ^{2} |) \to 1

$P(|\bar{X} - \mu| > |\bar{X}^2 - \mu^2|) \rightarrow 1$

but that is not the whole story. We are performing a likelihood ratio test, or at least an approximate one. the ratio will come out the same whether we perform a chi-squared or a normal test. (Recall that the square of a normal random variable follows a chi-squared distribution.) If the sample mean $\bar{X}$ comes out at the 95th percentile of the relevant normal or t-distribution, then the sum-of-squares will be equal to the 95th percentile of the $\chi^2$ distribution (which is not the same number, but that doesn't matter).

— JDL
ソース