確率におけるイプシロン収束とは何ですか？

収束確率の式は$P[|X_n − X_\infty| \gt \epsilon ]\to 0$で、式を使用して問題を解決できます。誰もが直感的にそれを説明できますか（私が5歳のように）、特にに関して$\epsilon$は？

この場合には、具体的に-私たちは収束の話をしているのでに収束X ∞ -私たちはそれを見せたいXはN本当に、本当に、本当に近いますX ∞として、nが大きくなると大きくなります。$X_n$$X_\infty$$X_n$$X_\infty$$n$

は、非常に小さい正の数と考えてください。ε = 0.01で十分だと思うとしましょう。そして、順番にすることを示すためにX nは、本当に、本当に、本当に近くにされてX ∞、私たちがいることを示したいX nは内部下がる（X ∞ - 0.01 、X ∞ + 0.01 ）十分に大きいため、N。（十分大きなnはいくつかの単なる手段があることを、N "、その結果、すべてのためのn > N "、$\varepsilon$$\varepsilon = 0.01$$X_n$$X_\infty$$X_n$$(X_\infty-0.01,X_\infty+0.01)$$n$$n$$n'$$n > n'$プラスまたはマイナスの範囲内である 0.01の X ∞確率1で）$X_n$$0.01$$X_\infty$

しかし、私はそれを確信していないよと言うに収束するX ∞ので、ε = 0.01は、私だけのためには大きすぎるようです。したがって、代わりに、ε = 0.0001とします。それから私は確信しているX Nに収束X ∞（またはそのX nがあり、本当に、本当に、本当に近いX ∞）私たちは十分に大きいため、その表示できる場合は、N、Xをn個の内部落ちる（X ∞ - 0.0001 、X ∞ + 0.0001 $X_n$$X_\infty$$\varepsilon=0.01$$\varepsilon = 0.0001$$X_n$$X_\infty$$X_n$$X_\infty$$n$$X_n$$(X_\infty-0.0001,X_\infty+0.0001)$。

をどんどん小さくすることを選ぶ友人がたくさんいるとします。収束の背後にある考え方は、すべてのためにということであるε > 0、どんなに小さなεことを示す、取得Xをn個の内部下がるX ∞ ± ε十分に大きいため、Nことを実証しているX Nに収束X ∞。$\varepsilon$$\varepsilon > 0$$\varepsilon$$X_n$$X_\infty\pm\varepsilon$$n$$X_n$$X_\infty$

最も基本的な用語では、は小さな正の数値です。それは収束に関連しているため、任意のε > 0に対して（異なるε値を持つ無限の友達がすべて確信するように）、収束するシーケンスが、ある時点でプラスまたはマイナスになることを示すことができますシーケンスが収束すると考える限界のε。シーケンスがいくつかのεの信頼限界のε内にあることを示すことができない場合、シーケンスはその限界に収束できません。$\varepsilon$$\varepsilon > 0$$\varepsilon$$\varepsilon$$\varepsilon$$\varepsilon$

確率変数のシーケンス。

直感は比喩に由来します。 次の比喩は、紙片をコンテナから引き出すことによってランダムな量をモデル化し、数え切れないほど多くのチケットがある状況を理解するために必要な技術的条件（「測定可能性」）を照らしながら、すべての必須の数学要素をキャプチャします。

チケット・イン・ザ・ボックスモデルを検討したサンプルスペースの各要素の名前ω ∈ Ωを箱に入れている紙のスリップ（「チケット」）に書かれています。確率が高い要素は、より多くのチケットで名前が付けられます。$\Omega$$\omega\in\Omega$

確率変数 、各チケットに番号を書き込むの一貫性のある方法です。いずれかの特定のためのすべてのチケットという「一貫性」の手段ωはすべて同じ値の取得X、書かれたX （ωを）。$X$$\omega$$X$$X(\omega)$

ランダム変数のシーケンス 従って配列としての考えられるX 1（ω ）、X 2（ω ）、...（一貫した方法で再び）各チケットに記述されました。$X_1, X_2, \ldots, X_n, \ldots$$X_1(\omega), X_2(\omega),\ldots$

各チケットに書かれた1つの以上の数である別の確率変数、です。$X_\infty$

イベントと確率。

してみましょう任意の実数であること。以下で詳しく説明します。$\epsilon$

イベント すべてのチケット説明ω ∈ Ωた値がのためにX N（ω ）及びX ∞（ω ）によって異なるε以上。これはボックス内のチケットのサブセットです。これらのチケットはボックスのいくつかの割合を形成：その割合モデルその確率は、Prの（| X N - X ∞ | ≥ ε ）。$|X_n - X_\infty| \ge \epsilon$$\omega\in\Omega$$X_n(\omega)$$X_\infty(\omega)$$\epsilon$$\Pr\left(|X_n - X_\infty| \ge \epsilon\right)$

制限。

制限についてのすべての主張は、数学的ゲームの一種です。 一部のシーケンスに制限があると書いた場合、私たちは、仮想の対戦相手（負けるために最善を尽くしている）に対してゲームをプレイできることを意味し、常に勝ちます。リミットゲームでは、対戦相手が正の数（通常は小さな数）を指定します。これをδと呼びます。あなたが削除することができた場合は、勝つ有限そのシーケンスから要素の数をし、残りのすべての要素が距離内にあることを示してδのL。他のゲームと同様に、対戦相手の動きに対する応答を調整できます。削除する要素はδに依存することが許可されています。$L$$\delta$$\delta$$L$$\delta$

確率の限界。

レッツは、アサーションにリミットゲームを適用する。この主張は、不特定量含むのでεを、相手にもその値を指定することもできます。 それはあなたが勝つためにゲームをできるだけ難しくします。$\Pr\left(|X_n - X_\infty| \ge \epsilon\right)\to 0$$\epsilon$

したがって、対戦相手が指定するおよびδ > 0の値に関係なく、応答はチケット上のランダム変数X iの有限数に取り消し線を引くことになります。すべての残りの確率変数のためにX nは、チケット聞かせてX N（ω ）と異なっX ∞（ω ）によって、ε以上のため、「悪い」ものであればnは。悪いチケットの割合が常にδ未満であれば、ゲームに勝利します（すべてのX $\epsilon$$\delta \gt 0$$X_i$$X_n$$X_n(\omega)$$X_\infty(\omega)$$\epsilon$$n$$\delta$$X_n$ 残ります）。

少し考えたのは、このゲームの機微を明らかにする：に悪い切符に悪いのチケットへの関係持っている必要はありません$n$$m$（ここで、とメートルあなたが出て横断していない残りの確率変数のいずれかを指定します）。言い換えれば、与えられたチケットでは、値X n（ω ）がその場所全体で跳ね返ることができます。確率の制限は、ボックス内のすべてのチケットに何が書かれているかについての説明ですが、個々のチケットに何が書かれているかについての説明ではありません。$n$$m$$X_n(\omega)$