2SLSの分散がOLSの分散よりも大きいのはなぜですか？

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... 2SLSおよびその他のIV手順を適用する際のもう1つの潜在的な問題は、2SLS標準誤差が「大きくなる」傾向があることです。このステートメントが通常意味するのは、2SLS係数が統計的に有意でないか、2SLS標準であることです。エラーは、OLSの標準エラーよりもはるかに大きくなります。当然のことながら、2SLS標準誤差の大きさは、とりわけ、推定に使用される計測器の品質に依存します。

この引用は、Wooldridgeの「断面およびパネルデータの計量分析」からのものです。なぜこれが起こるのでしょうか？数学的な説明をお願いします。

OLSの（推定）漸近分散簡単のためhomoskedasticityを想定推定によって与えられる、一方2SLS推定量の場合ここで、

\hat{A v a r} ({\hat{β}}_{O L S}) = n σ^{2} (X^{'} X)^{- 1}

$\widehat{Avar}(\hat{\beta}_{OLS}) = n\sigma^2(X'X)^{-1}$

\hat{A v a r} ({\hat{β}}_{2 S L S}) = n σ^{2} ({\hat{X}}^{'} \hat{X})^{- 1}

$\widehat{Avar}(\hat{\beta}_{2SLS}) = n\sigma^2(\hat{X}'\hat{X})^{-1}$

\hat{X} = P_{z} X = Z (Z^{'} Z)^{- 1} Z^{'} X .

$\hat{X} = P_zX = Z(Z'Z)^{-1}Z'X.$

$X$ は、内生変数を含むリグレッサの行列であり、は、インストルメンタル変数の行列です。 $Z$

したがって、2SLSの分散を書き換えると、

\hat{A v a r} ({\hat{β}}_{2 S L S}) = n σ^{2} {(X^{'} Z (Z^{'} Z)^{- 1} Z^{'} X)}^{- 1} .

$\widehat{Avar}(\hat{\beta}_{2SLS}) = n\sigma^2\left(X'Z(Z'Z)^{-1}Z'X\right)^{-1}.$

ただし、上記の式からと結論付けることはできません。 $\widehat{Avar}(\hat{\beta}_{2SLS}) \geq \widehat{Avar}(\hat{\beta}_{OLS})$

— tosik
ソース

2SLSのAvarの最後の表現で逆をとることを忘れたと思います。

— Richard Hardy

正解です。

— tosik

特にの定義に関して、いくつかの小さな編集を行いました。チェックしてください。

Z

$Z$

— Christoph Hanck、2016年

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差が正の半定値（psd）である場合、行列は少なくとも同じ大きさであると言います。 $A$ $B$ $A-B$

ここで確認するのに便利な同等のステートメントは、がpsdであるというものです（はと同等です）。 $B^{-1}-A^{-1}$ $a>b$ $1/b>1/a$

したがって、がpsdであることを確認します。

X^{'} X - X^{'} Z (Z^{'} Z)^{- 1} Z^{'} X

$X'X-X'Z(Z'Z)^{-1}Z'X$

書き込みにチェックその PSDで、我々は、任意のベクトルのために、それを示さなければならない、レッツの。次いで、として PSDであることが知られている対称と冪等射影行列である：ライト、対称性及び冪等を用いて、およびlet、したがって、、乗の合計であり、負でない必要があります。

X^{'} X - X^{'} Z (Z^{'} Z)^{- 1} Z^{'} X = X^{'} (I - Z (Z^{'} Z)^{- 1} Z^{'}) X = X^{'} M_{Z} X

$X'X-X'Z(Z'Z)^{-1}Z'X=X'(I-Z(Z'Z)^{-1}Z')X=X'M_ZX$

X^{'} M_{Z} X

$X'M_ZX$

d

$d$

d^{'} X^{'} M_{Z} X d \geq 0

$d'X'M_ZXd\geq0$

c = X d

$c=Xd$

c^{'} M_{Z} c \geq 0

$c'M_Zc\geq0$

M_{Z}

$M_Z$

c^{'} M_{Z} c = c^{'} M_{Z} M_{Z} c = c^{'} M_{Z}^{'} M_{Z} c

$c'M_Zc=c'M_ZM_Zc=c'M_Z'M_Zc$

e = M_{Z} c

$e=M_Zc$

c^{'} M_{Z} c = e^{'} e = \sum_{i} e_{i}^{2}

$c'M_Zc=e'e=\sum_ie_i^2$

PS：2つの小さな問題- 推定された漸近分散ます。現在、OLS推定器との2SLS推定器は同じではないため、これらの推定値が異なる場合、必ずしもランキングを維持する必要があるとは思いません。また、漸近分散は一般にスケーリングされ、非退化量をとして取得します。（もちろん、両方をでスケーリングしてもランキングには影響しないので、この問題はこの特定の質問には少し気がかりです。） $\widehat{Avar}(\hat\beta_j)$ $\sigma^2$ $n$ $n\to\infty$ $n$

— クリストフ・ハンク
ソース

回答ありがとうございます。実際、漸近分散はで除算する必要があります（修正）。射影行列を呼び出すときにタイプミスがあると思います。それは消滅行列と呼ばれると思います。とにかく、がpsdである理由を詳しく教えてください。また、 OLSと2SLSの推定量が同じではないというあなたの主張もよくわかりません。それが何を意味するのか詳しく説明していただけませんか？

n

$n$

M_{z}

$M_z$

M_{z}

$M_z$

σ^{2}

$\sigma^2$

— tosik 2016年

詳細を追加しました。は確かに消滅行列として最もよく知られていますが、ある空間（の画像の直交補数）にも射影するため、射影行列でもあります。

M

$M$

P

$P$

— Christoph Hanck、2016年

説明と編集に感謝します（なぜ除算することにしたのか分かりません）。PSの最初のポイントについて説明していただけますか？

n

$n$

— tosik 2016年

実際にそれを推定漸近分散にするためには、推定器が必要です。のOLS推定器はOLS残差に基づいていますが、2SLS推定器は残差を使用してを推定します。これらの推定値は、いずれかの方向で異なる可能性があり、分散のランキングに影響を与える可能性があります。

{\hat{σ}}^{2}

$\hat\sigma^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

y - X {\hat{β}}_{2 S L S}

$y-X\hat\beta_{2SLS}$

σ^{2}

$\sigma^2$

— Christoph Hanck、2016年

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これは、単純な1つの方程式、1つの変数設定を見る方がはるかに簡単な時代だと思います。したがって、技術的には、これはIV回帰であり、2SLSではありません（ただし、結果は一般的です）。我々はいくつかのために、（Wooldridge表記を使用して）モデルをasumeますので、たちは持っています： $i$

y_{i} = β_{0} + β_{1} x_{i 1} + u_{i}

$y_i = \beta_0 + \beta_1 x_{i1} + u_i$

ここで、このモデルがガウスマルコフの仮定に従うと仮定すると、漸近分散がで与えられることがわかります（適切な教科書を参照）。 $\hat\beta_1$

A v a r ({\hat{β}}_{O L S}) = \frac{{\hat{σ}}^{2}}{S S T_{x}}

$Avar(\hat\beta_{OLS})=\frac{\hat\sigma^2}{SST_x}$

ここで、はの二乗の合計です。代わりに、が（可能性のある）終末論であると想定し、を計測器としてIV回帰を使用する場合、IV推定量の漸近分散は次のようになります。 $SST_x$ $x$ $x$ $z$

A v a r ({\hat{β}}_{i v}) = \frac{{\hat{σ}}^{2}}{S S T_{x} \cdot R_{x, z}^{2}}

$Avar(\hat\beta_{iv}) = \frac{\hat\sigma^2}{SST_x \cdot R^2_{x,z}}$

以来、との間に常にとは、（OLSが実際に有効である場合）IV推定のための分母はOLS、次いで小さい場合でなければなりません。 $R^2$ $0$ $1$

— レプマット
ソース

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ただのコメント。2SLSを使用すると、エラーの分散の推定値が高くなることはかなり明らかだと思います。OLSはこの分散の推定を最小化することを思い出してください。したがって、他のすべての推定量は、誤差の分散のより高いサンプル推定値を持つ必要があります。

— ポール
ソース