線形混合モデルの変量効果予測を手動で計算する

私は線形混合モデルからランダム効果予測を手作業で計算しようとしています、そして一般化された加法モデルでウッドによって提供された表記を使用しています：Rの紹介（pdfの294 / pg 307）、私は各パラメーターについて混乱していますを表します。

以下はウッドからの要約です。

線形混合モデルを定義する

$$Y = X\beta + Zb + \epsilon$$

ここで、B N（0、ψ）、及びε 〜 N（0、σ 2）$\sim$$\psi$$\epsilon \sim$$\sigma^{2}$

bとyが結合正規分布の確率変数である場合

$$\begin{align*} \begin{bmatrix} b\\ y \end{bmatrix} &\sim N \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\\ X\beta \end{bmatrix}\!\!,& \begin{bmatrix} \psi & \Sigma_{by} \\ \Sigma_{yb}& \Sigma_{\theta}\sigma^{2} \end{bmatrix} \end{bmatrix}\\ \end{align*}$$

RE予測は、

$$\begin{align*} E[b \mid y] &= \Sigma_{by} \Sigma_{yy}^{-1} (y - x\beta)\\ &= \Sigma_{by}\Sigma_{\theta}^{-1}(y - x \beta) / \sigma^{2}\\ &= \psi z^{T}\Sigma_{\theta}^{-1} (y - x \beta) / \sigma^{2} \end{align*}$$

$\Sigma_{\theta} = Z\psi Z^{T} /\sigma^{2} + I_{n}$

lme4Rパッケージのランダムインターセプトモデルの例を使用して出力を取得する

library(lme4)
m = lmer(angle ~ temp + (1 | replicate), data=cake)
summary(m)

% Linear mixed model fit by REML ['lmerMod']
% Formula: angle ~ temp + (1 | replicate)
%    Data: cake
% 
% REML criterion at convergence: 1671.7
% 
% Scaled residuals: 
%      Min       1Q   Median       3Q      Max 
% -2.83605 -0.56741 -0.02306  0.54519  2.95841 
% 
% Random effects:
%  Groups    Name        Variance Std.Dev.
%  replicate (Intercept) 39.19    6.260   
%  Residual              23.51    4.849   
% Number of obs: 270, groups:  replicate, 15
% 
% Fixed effects:
%             Estimate Std. Error t value
% (Intercept)  0.51587    3.82650   0.135
% temp         0.15803    0.01728   9.146
% 
% Correlation of Fixed Effects:
%      (Intr)
% temp -0.903

$\psi$$(y-X\beta)$cake$angle - predict(m, re.form=NA)sigma

th = 23.51
zt = getME(m, "Zt") 
res = cake$angle - predict(m, re.form=NA)
sig = sum(res^2) / (length(res)-1)

これらを掛け合わせると

th * zt %*% res / sig
         [,1]
1  103.524878
2   94.532914
3   33.934892
4    8.131864
---

と比較すると正しくありません

> ranef(m)
$replicate
   (Intercept)
1   14.2365633
2   13.0000038
3    4.6666680
4    1.1182799
---

どうして？

2つの問題（2番目の問題を見つけるのに40分ほどかかったと私は認めます）：

1. $\sigma^2$23.51

   sig <- 23.51

   $\psi$39.19

   psi <- 39.19

2. 残差はで得られていないcake$angle - predict(m, re.form=NA)が、とresiduals(m)。

それを一緒に入れて：

> psi/sig * zt %*% residuals(m)
15 x 1 Matrix of class "dgeMatrix"
         [,1]
1  14.2388572
2  13.0020985
3   4.6674200
4   1.1184601
5   0.2581062
6  -3.2908537
7  -4.6351567
8  -4.5813846
9  -4.6351567
10 -3.1833095
11 -2.1616392
12 -1.1399689
13 -0.2258429
14 -4.0974355
15 -5.3341942

これはに似ていranef(m)ます。

predict計算結果が本当にわかりません。

---

$\hat\epsilon$$PY$$P = V^{-1} - V^{-1} X \left(X' V^{-1} X\right)^{-1} X' V^{-1}$

$$\hat\epsilon = \sigma^2 PY$$ $$\hat b = \psi Z^t PY.$$

$\hat b = \psi / \sigma^2 Z^t \hat\epsilon$