プロジェクトオイラー問題213（「ノミサーカス」）をどのように解決すべきですか？

プロジェクトオイラー213を解決したいのですが、統計学の専門家なので、どこから始めればよいかわかりません。正確な回答が必要なため、モンテカルロ法が機能しないことに注意してください。いくつかの統計トピックをお勧めしますか？ここに解決策を投稿しないでください。

ノミサーカス

30×30の正方形のグリッドには900ノミが含まれ、最初は1正方形あたり1ノミです。ベルを鳴らすと、各ノミは隣接する正方形にランダムにジャンプします（通常、グリッドの端またはコーナーのノミを除き、4つの可能性があります）。

ベルが50回鳴った後の空いている正方形の予想数はいくつですか？小数点以下6桁に四捨五入して回答してください。

あなたが正しい; モンテカルロは実行不可能です。（単純なシミュレーション、つまり単純化せずに問題の状況を正確に再現するシミュレーションでは、各反復には900ノミの動きが含まれます。空のセルの比率の大まかな推定はであり、モンテの分散を意味します後-Carlo推定Nそのような反復はおよそ1 / N 1 / E （1 - 1 / E ）= 0.2325 ... /$1/e$$N$$1/N 1/e (1 - 1/e) = 0.2325\ldots /N$。答えを小数点以下6桁に固定するには、5.E-7以内に見積もる必要があり、95 +％の信頼度（たとえば）を達成するには、その精度を約2.5E-7に半分にする必要があります。 。解決、N>4E12になります。それは約3.6E15のノミの動きであり、それぞれがCPUのいくつかのティックをとります。最新のCPUを1つ利用できるので、1年間（非常に効率的な）コンピューティングが必要になります。そして、私は多少間違って楽観的に答えが数ではなく比率として与えられると仮定しました：数として、それは計算に100万倍の増加を伴う、さらに3つの有意な数値を必要とするでしょう...あなたは長い間待つことができますか？）$\sqrt(0.2325/N) \lt 2.5E-7$$N > 4E12$

分析ソリューションに関する限り、いくつかの簡略化が利用可能です。（これらは、モンテカルロ計算を短縮するためにも使用できます。）空のセルの予想される数は、すべてのセルにわたる空の確率の合計です。これを見つけるには、各セルの占有数の確率分布を計算します。これらの分布は、各ノミからの（独立！）寄与を合計することによって得られます。これにより、グリッド上の任意のセルのペアの間の30 x 30グリッドに沿って長さ50のパスの数を見つける問題が減少します（1つはノミの起点であり、もう1つは確率を計算するセルです）ノミの占有）。

各ノミの細胞の占有確率を反復できませんか。つまり、ノミkは最初、セル（i（k）、j（k））に確率1で存在します。1回の反復後、4つの隣接セルのそれぞれで確率1/4を持ちます（エッジ上またはエッジ内にないと仮定します）。コーナー）。次に、次の反復では、これらの各四半期が順番に「不鮮明」になります。50回の反復の後、ノミkの占有確率の行列ができます。900ノミすべてを繰り返し（対称性を利用する場合、これはほぼ8分の1に減少します）、確率を追加します（一度にすべてを保存する必要はありません。現在のノミの行列（ええと、非常に賢いですが、追加の作業行列）と現在の行列の合計が必要になる場合があります）。これをあちこちで高速化する方法はたくさんあるように思えます。

これにはシミュレーションは一切含まれません。ただし、かなりの計算が必要です。高い確率で6 dpよりやや良い精度で答えを出すために必要なシミュレーションサイズを計算し、どちらのアプローチがより高速になるかを理解することは、それほど難しくありません。このアプローチは、シミュレーションに多少の余裕があると思います。

私はwhuberによって指摘された小数点以下6桁の精度でこの問題のモンテカルロ解決の実際的な不可能性（または非現実性）に異議はありませんが、6桁の精度の解決が達成できると思います。

$t+1$$t$$K$

$K^2$

$\hat{p}_0$$50$$(\mathbf{X}^{(t)})$

pot=rep(c(rep(c(0,1),15),rep(c(1,0),15)),15)*c(2,
    rep(3,28),2,rep(c(3,rep(4,28),3),28),2,rep(3,28),2)
pot=pot/sum(pot)
sum((1-pot)^450)-450
[1] 166.1069

$166.11$

whuberがコメントしたように、質問に正しく答えるためには推定値に2を掛ける必要があるため、最終的な値は332.2137、

分析的なアプローチは面倒で、複雑なことを考えたことはありませんが、ここでは検討したいアプローチを紹介します。50リング後に空になるセルの予想数に関心があるため、ノミの位置ではなく、「セル内のノミの数」に対してマルコフ連鎖を定義する必要があります（位置をモデル化するGlen_bの回答を参照）マルコフ連鎖としてのノミ。その答えに対するコメントでアンディが指摘したように、そのアプローチはあなたが望むものを得られないかもしれません。）

具体的には：

$n_{ij}(t)$$i$$j$

次に、マルコフチェーンは次の状態で始まります。

$n_{ij}(0) =1$$i$$j$

ノミは隣接する4つのセルの1つに移動するため、セルの状態は、ターゲットセル内のノミの数と隣接する4つのセル内のノミの数、およびそのセルに移動する確率に応じて変化します。この観測を使用して、各セルの状態遷移確率を、そのセルの状態と隣接するセルの状態の関数として書き込むことができます。

必要に応じて答えをさらに広げることができますが、マルコフチェーンの基本的な紹介とともにこれで開始できます。

数値ルートを使用する場合、簡単な観察：問題は赤黒パリティの影響を受けるように見えます（赤の正方形のノミは常に黒の正方形に移動し、その逆も同様です）。これにより、問題のサイズを半分に減らすことができます（一度に2つの動きを検討し、赤い正方形のノミだけを見てください）。

離散時間マルコフ連鎖のいくつかの知識が役立つと思われると思います。