場合、PCAを介したマハラノビス距離

私は行列、遺伝子の数であり、患者の数です。このようなデータを扱った人なら誰でも、は常によりも大きいことを知っています。特徴選択を使用して、をより妥当な数に下げましたが、はまだより大きいです。p n p n p p $n\times p$$p$$n$$p$$n$$p$$p$$n$

遺伝子プロファイルに基づいて患者の類似性を計算したいと思います。ユークリッド距離を使用することもできますが、マハラノビスは変数間の相関を考慮に入れるので、より適切に見えます。（この投稿で述べたように）問題は、マハラノビス距離、特に共分散行列が場合に機能しないことです。Rでマハラノビス距離を実行すると、次のエラーが発生します。$n < p$

 Error in solve.default(cov, ...) :    system is computationally
 singular: reciprocal condition number = 2.81408e-21

これまでにこれを解決するために、PCAを使用しました。遺伝子を使用する代わりに、コンポーネントを使用しました。これにより、マハラノビス距離を計算できるようです。5つの成分は分散の約80％を表すため、ます。$n > p$

私の質問は次のとおりです。PCAを使用して患者間のマハラノビス距離を有意義に取得できますか、それとも不適切ですか？ときに機能する代替距離メトリックスはありますか？また、変数間に多くの相関関係がありますか？$n < p$$n$

PCAのすべての成分を保持する場合、新しいPCA空間での患者間のユークリッド距離は、観測された変数空間でのマハラノビス距離に等しくなります。一部のコンポーネントをスキップする場合、それは少し変わりますが、とにかく変更されます。ここでは、分散が固有値に等しい種類ではなく、単位分散PCAコンポーネントを参照します（PCAの実装についてはわかりません）。

つまり、患者間のマハラノビス距離を評価する場合は、PCAを適用してユークリッド距離を評価できます。PCAを適用した後でマハラノビス距離を評価することは、私にとって意味のないことのようです。

次の論文をご覧ください。

Zuber、V.、Silva、APD、＆Strimmer、K.（2012）。高次元ゲノムワイド関連研究における同時SNP選択のための新しいアルゴリズム。BMCバイオインフォマティクス、13（1）、284。

それはあなたの問題を正確に扱います。著者は、問題に適合する説明変数の相関行列のペナルティ付き推定法を以前に導入したことに加えて、新しい変数重要度測定の使用を想定しています。また、非相関にマハラノビス距離を使用します。

これらの方法は、CRANで利用可能な Rパッケージ「ケア」に含まれています

PCAスコア（またはPCA結果）は、サンプルとサンプルの分布の間のマハラノビス距離を計算するために文献で使用されます。例については、こちらの記事をご覧ください。「分析方法」セクションの下で、著者は述べています。

蛍光スペクトルのデータセット（681）は、相関行列（681×681）の主成分（PC）を評価することにより、より低い次元（11）に削減されます。PCスコアは、PCに沿って元のデータを投影することによって推定されます。データセット間の分類は、PCスコアのマハラノビス距離を計算することにより、マハラノビス距離モデルを使用して行われました。

PCA /マハラノビス距離に基づく判別分析の他の例を、文献やGRAMS IQケモメトリックスソフトウェアのヘルプメニューで見ました。変数の数が使用可能なサンプルの数よりも多い場合、マハラノビス距離はうまく機能せず、PCAは変数の数を減らすため、この組み合わせは意味があります。

1クラス分類機械学習アルゴリズム（つまり、Isolation Forest、One-ClassSVMなど）は、PCA /マハラノビス距離ベースの判別分析の可能な代替手段です。私たちの研究室では、データの前処理と分離フォレストを組み合わせることで、近赤外スペクトルの分類に優れた結果が得られました。

わずかに関連する注意点として、PCA /マハラノビス距離を使用した異常値または新規性の検出では、高次元のデータの場合、マハラノビス距離カットオフの計算が必要になることがよくあります。この記事は、データが正規分布していると仮定して、カットオフがカイ2乗分布の臨界値の平方根として計算できることを示唆しています。この臨界値には、自由度の数とデータに関連付けられた確率値が必要です。記事では、保持された主成分の数は、臨界値を計算するために必要な自由度の数に等しいと示唆しているようです。これは、著者が計算にデータセットの特徴の数を使用したためです。