ベータの平均の標本分布

私たちは持っていると言います $X \sim \text{Beta}(\alpha, \beta)$。その標本の標本分布はどういう意味ですか？

つまり、サンプルが意味する分布とは $\bar{X}$ ベータフォローの？

注：同じ質問についても参照してください/math/85535/sum-of-niid-beta-distributed-variables

一様分布の場合、 $\text{Beta}(1,1)$、多数の独立変数の合計の分布（および平均は関連しています）は、アーウィンホール分布として記述されています。

もし

$$X_n = \sum_{i=1}^n Y_i \quad \text{ with } \quad U_i \sim \text{Beta}(1,1)$$

その後、あなたは学位のスプラインを持っています $n-1$

$$f_X(x;n) = \frac{1}{(n-1)!} \sum_{j=0}^{n-1} a_j(k,n)x^j \quad \text{ for } \quad k \leq x \leq k+1$$

どこ $a_j(k,n)$ 繰り返し関係で説明できます：

$$a_j(k,n) = \begin{cases} 1 & \quad k=0,j=n-1 \\ 0 & \quad k=0,j< n-1 \\ a_j(k-1,n) + (-1)^{n+k-j-1} {{n}\choose{k}} {{n-1}\choose{j}} k^{n-j-1} & \quad k>1 \end{cases}$$

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上記の式は、と繰り返したたみこみによって構成され、積分が少しずつ解かれていることがわかります。ベータ分布変数に対してこれをおよび一般化できますか？$X_{n-1}$$Y_n$$\alpha$$\beta$

ましょう

$$X_n(\alpha,\beta) = \sum_{i=1}^n Y_i \quad \text{ with } \quad U_i \sim \text{Beta}(\alpha,\beta)$$

関数が個に分割されることを期待します（おそらくスプラインではなくなります）。の分布を計算するたたみ込みは次のようになります。$f_X(x;n,\alpha,\beta)$$n$$X_{n}(\alpha,\beta) = X_{n-1}(\alpha,\beta)+U_n$

$$f_X(x;n,\alpha,\beta) = \int^{\text{min}(1,x)}_{1-\text{min}(1,n-x)} f_X(x-y;n-1,\alpha,\beta) y^{\alpha-1}(1-y)^{\beta-1} dy$$

• 以下のための：$n=2$

  $$f_X(x;n,\alpha,\beta) = \begin{cases} \int_{0\phantom{-x}}^{x} ((x-y)y)^{\alpha-1}((1-x+y)(1-y))^{\beta-1} dy & \quad \text{if $0 \leq x \leq 1$} \\ \int_{x-1}^{1} ((x-y)y)^{\alpha-1}((1-x+y)(1-y))^{\beta-1} dy & \quad \text{if $1 \leq x \leq 2$} \end{cases}$$

  • 整数および：$\alpha$$\beta$およびような用語 は、および整数値。積分は簡単に解決できます。$((x-y)y)^{\alpha-1}$$((1-x+y)(1-y))^{\beta-1}$$\alpha$$\beta$

    例えば：

    $$\begin{array}{} f_X(x;2,2,2) &=& \begin{cases} \frac{1}{30} x^3(x^2-5x+5) & \quad \text{if $x \leq 1$} \\ \frac{1}{30}(2-x)^3(x^2+x-1) & \quad \text{if $x \geq 1$} \end{cases}\\ \\ f_X(x;2,3,3) &=& \begin{cases} \frac{1}{630} x^5(x^4-9x^3+30x^2-42x+21) & \quad \text{if $x \leq 1$} \\ \frac{1}{630}(2-x)^5(x^4+x^3-2x+1) & \quad \text{if $x \geq 1$} \end{cases} \end{array}$$

および整数値のソリューションもスプラインになります。おそらくこれは、より一般的な状況（とやだけではない）のために、いくつかの素晴らしい（またはおそらくそれほど素晴らしいではない）式にキャストできます。しかし、現時点では、この問題に取り組むために、かなりの数のコーヒー、またはより良い注入液が必要です。$\alpha$$\beta$$n=2$$\alpha=\beta=2$$\alpha=\beta=3$

これは興味深い質問だと思ったので、ここで簡単に視覚的に調べてみましょう。以下のために、Iは、第4の別個のベータ分布（PDFファイル以下に示す）を選択しました。$X\sim Beta(\alpha_1,\alpha_2)$

次に、サンプル平均、を収集し、以下に示すように対応するヒストグラムをプロットしました。結果は正常に見え、中央限界定理（CLT）がここで機能しているという@ChristophHanckの主張を信じる傾向があります。 $\bar X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$

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MATLABコード

% Parameters
n = 5000;
K = 5000;
% Define Beta distributions
pd1 = makedist('Beta',0.25,0.45);
pd2 = makedist('Beta',0.25,2.5);
pd3 = makedist('Beta',4,0.15);
pd4 = makedist('Beta',3.5,5);
% Collect Sample Means
X1bar = zeros(K,1);
X2bar = zeros(K,1);
X3bar = zeros(K,1);
X4bar = zeros(K,1);
for k = 1:K                           % get K sample means 
    X1bar(k) = mean(random(pd1,n,1)); % take mean of n samples
    X2bar(k) = mean(random(pd2,n,1));
    X3bar(k) = mean(random(pd3,n,1));
    X4bar(k) = mean(random(pd4,n,1));
end
% Plot Beta distribution PDFs
Xsupport = 0:.01:1;

figure, hold on, box on
title('Beta(\alpha_1,\alpha_2) PDFs')
plot(Xsupport,pdf(pd1,Xsupport),'r-','LineWidth',2.2)
plot(Xsupport,pdf(pd2,Xsupport),'b-','LineWidth',2.2)
plot(Xsupport,pdf(pd3,Xsupport),'k-','LineWidth',2.2)
plot(Xsupport,pdf(pd4,Xsupport),'g-','LineWidth',2.2)
legend('(0.25,0.45)','(0.25,2.5)','(4,0.15)','(3.5,5)')

figure
s(1) = subplot(2,2,1), hold on, box on
    histogram(X1bar,'FaceColor','r')
s(2) = subplot(2,2,2), hold on, box on
    histogram(X2bar,'FaceColor','b')
s(3) = subplot(2,2,3), hold on, box on
    histogram(X3bar,'FaceColor','k')
s(4) = subplot(2,2,4), hold on, box on
    histogram(X4bar,'FaceColor','g')
title(s(1),'(0.25,0.45)')
title(s(2),'(0.25,2.5)')
title(s(3),'(4,0.15)')
title(s(4),'(3.5,5)')

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編集：この投稿は、OPを提供するための簡単な試みでした。指摘したように、Central Limit Theorem（CLT）は、これらの結果が有限の分散を持つすべての分布に当てはまることを意味することを知っています。