AR（1）係数のOLS推定量が偏っているのはなぜですか？

OLSがAR（1）プロセスの偏った推定量を与える理由を理解しようとしています。検討 このモデルでは、厳密な外因性に違反しています。つまり、とは相関していますが、とは相関していません。しかし、これが本当なら、なぜ次の単純な導出が成り立たないのでしょうか？ YTεT、YT-1εTPLIM

$$\begin{aligned} y_{t} &= \alpha + \beta y_{t-1} + \epsilon_{t}, \\ \epsilon_{t} &\stackrel{iid}{\sim} N(0,1). \end{aligned}$$ $y_t$$\epsilon_t$$y_{t-1}$$\epsilon_t$ $$\begin{aligned} \text{plim} \ \hat{\beta} &= \frac{\text{Cov}(y_{t},y_{t-1})}{\text{Var}(y_{t-1})} \\ &=\frac{\text{Cov}(\alpha + \beta y_{t-1}+\epsilon_{t}, y_{t-1})}{\text{Var}(y_{t-1})} \\ &= \beta+ \frac{\text{Cov}(\epsilon_{t}, y_{t-1})}{\text{Var}(y_{t-1})} \\ &=\beta. \end{aligned}$$

コメントで本質的に説明されているように、不偏性は有限のサンプルプロパティであり、保持されている場合、次のように表現されます。

$$E (\hat \beta ) = \beta$$

（期待値は有限標本分布の最初の瞬間です）

一方、一貫性は次のように表される漸近的なプロパティです

$$\text{plim} \hat \beta = \beta$$

OPは、このコンテキストでのOLSが偏っていても、一貫性があることを示しています。

$$E (\hat \beta ) \neq \beta\;\;\; \text{but}\;\;\; \text{plim} \hat \beta = \beta$$

ここで矛盾はありません。

@Alecosは、正しいプリムとバイアスのないものが同じではない理由をうまく説明しています。推定量が不偏でない根本的な理由については、推定量が不偏であるために、すべての誤差項がすべてのリグレッサ値から独立していることが必要であることを思い出してください。$E(\epsilon|X)=0$

現在の場合、リグレッサ行列は値で構成されているため、mpiktasのコメントを参照してください-条件はすべて。$y_1,\ldots,y_{T-1}$$E(\epsilon_s|y_1,\ldots,y_{T-1})=0$$s=2,\ldots,T$

ここでは、

$$\begin{equation*} y_{t}=\beta y_{t-1}+\epsilon _{t}, \end{equation*}$$ 仮定の下でもこれは、 ただし、は、ARモデルの将来の値のでもあります。$E(\epsilon_{t}y_{t-1})=0$ $$\begin{equation*} E(\epsilon_ty_{t})=E(\epsilon_t(\beta y_{t-1}+\epsilon _{t}))=E(\epsilon _{t}^{2})\neq 0. \end{equation*}$$ $y_t$$y_{t+1}=\beta y_{t}+\epsilon_{t+1}$

2つの良い答えを拡張します。OLS推定量を書き留めます。

$$\hat\beta =\beta + \frac{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}\varepsilon_t}{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}^2}$$

私たちが必要とする公平さのために

$$E\left[\frac{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}\varepsilon_t}{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}^2}\right]=0.$$

しかし、そのためには、ごとに必要です。AR（1）モデルの場合、は将来の値関連するため、これは明らかに失敗します。$E(\varepsilon_t|y_{1},...,y_{T-1})=0,$$t$$\varepsilon_t$$y_{t},y_{t+1},...,y_{T}$