52枚のデッキから20枚のカードが引かれたときに、フォーカードを引く確率はどのくらいですか？

昨日、ハウスメイトと私はカードゲームをしていて、誰かがこの質問をしました。私たちは問題を解決しようとしましたが、それを理解することができませんでした。今朝、目が覚めたのですが、どうすれば解決できるのかまだ疑問に思っています。手伝ってくれませんか。

13種類あるので、1種類の問題を解決して、そこから先に進むことができます。

次に問題は、4つの成功（キング）と48の失敗の同じ分布から、20のサンプルで4つの成功（キングなど）を引き継がずに引き出す確率はどのくらいかということです。

超幾何分布（ウィキペディア）は私たちにこの質問への答えを与え、それが1.8％です。

1人の友人が4人の王を得ることに賭け、別の友人が4人の王を得ることに賭けた場合、どちらも1.8％の勝率があります。少なくとも1人が勝つ確率はどれくらいかを言うために、2つの賭けがどれだけ重複しているかを知る必要があります。

両方の勝利のオーバーラップは最初の質問と同様です。つまり、8つの成功（キングとクイーン）と44の失敗の分布から、20のサンプルで8つの成功（キングとクイーン）を取り替えずに引き出す確率はどのくらいですか？

答えはやはり巨大幾何学であり、私の計算では0.017％です。

したがって、2人の友人のうち少なくとも1人が勝つ確率は1.8％+ 1.8％-0.017％= 3.6％です。

この推論の行を続けると、簡単な部分は個々の種類の確率を合計することであり（13 * 1.8％= 23.4％）、困難な部分はこれらの13のシナリオすべてがどの程度重複しているかを理解することです。

4人のキング、4人のクイーン、または4つのエースのいずれかを獲得する確率は、各4を獲得した合計からそれらのオーバーラップを差し引いたものです。重複は、4人のキングと4人のクイーン（ただし4人のエースではない）、4人のキングと4人のエース（4人のクイーンではない）、4人のクイーンと4人のエース（4人のキングではない）、4人のキングと4人のクイーンの取得で構成されています。そして4エース。

これは私が続けるにはあまりにも毛深い場所ですが、ウィキペディアの超幾何公式でこのように進めれば、先に進んでそれをすべて書き出すことができます。

多分誰かが私たちが問題を減らすのを助けることができますか？

少なくとも指定された4種類のカードを引くには、必要なカードをすべて引く必要があります。これは超幾何分布であり、サイズ母集団から成功すべてを引き出す必要がありますこのような4種類のセットのがあります。したがって、少なくとも種類の4 を取得する可能性は$k$$4k$$4k$$52.$$\binom{13}{k}$$k$

$\binom{13}{k} \frac{\binom{4k}{4k}\binom{52-4k}{20-4k}}{\binom{52}{20}} = \binom{52}{20}^{-1} \binom{13}{k} \binom{52-4k}{20-4k} ,$のために$0\leq k\leq5.$

したがって、包含/除外の原理により、少なくとも1つの4種類を描画する確率は次のようになります。

$\binom{52}{20}^{-1} \sum_{k=1}^5 (-1)^{k+1} \binom{13}{k} \binom{52-4k}{20-4k} = -\binom{52}{20}^{-1} \sum_{k=1}^5 (-1)^k \binom{13}{k} \binom{4(13-k)}{4\times 8} .$

これは、数値で約と計算できます$0.2197706.$

上記の合計は、後で項を減算すると、の形式になります。 、なぜならはゼロに等しいからです。そのような金額を単純化する方法はあるのでしょうか。$\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} \binom{r(n-k)}{rm},$$k=0$$5<k\leq 13$