ましょうし、ホワイトノイズプロセスのこと。は必然的にホワイトノイズプロセスであると言えますか？b t c t = a t + b $a_t$$b_t$$c_t=a_t+b_t$

いいえ、もっと必要です（少なくとも林のホワイトノイズの定義では）。たとえば、2つの独立したホワイトノイズプロセスの合計はホワイトノイズです。

とb tのホワイトノイズが、a t + b tがホワイトノイズになるにはなぜ不十分なのですか？$a_t$$b_t$$a_t+b_t$

林の計量経済学に従って、共分散定常プロセス は、j ≠ 0の場合、E [ z t ] = 0およびC o v （z t、z t − j） = 0の場合、ホワイトノイズであると定義されます。$\{z_t\}$$\mathrm{E}[z_t] = 0$$\mathrm{Cov}\left(z_t, z_{t-j} \right) = 0$$j \neq 0$

ましょう及び{ B tは }ホワイトノイズプロセスです。c t = a t + b tを定義します。簡単にE [ c t ] = 0です。共分散条件の確認：$\{a_t\}$$\{b_t\}$$c_t = a_t + b_t$$\mathrm{E}[c_t] = 0$

それを適用{T}及び{

$$\begin{align*} \mathrm{Cov} \left( c_t, c_{t-j} \right) &= \mathrm{Cov} \left( a_t, a_{t-j}\right) + \mathrm{Cov} \left( a_t, b_{t-j}\right) + \mathrm{Cov} \left( b_t, a_{t-j}\right) + \mathrm{Cov} \left( b_t, b_{t-j}\right) \end{align*}$$ $\{a_t\}$はホワイトノイズです： C o v （c t、c t − j$\{b_t\}$ $$\begin{align*} \mathrm{Cov} \left( c_t, c_{t-j} \right) &= \mathrm{Cov} \left( a_t, b_{t-j}\right) + \mathrm{Cov} \left( b_t, a_{t-j}\right) \end{align*}$$

したがって、がホワイトノイズであるかどうかは、すべてのj ≠ 0に対してC o v （a t、b t − j） + C o v （b t、a t − j） = 0かどうかによって決まります。$\{c_t\}$$\mathrm{Cov} \left( a_t, b_{t-j}\right) + \mathrm{Cov} \left( b_t, a_{t-j}\right) = 0$$j\neq 0$

2つのホワイトノイズプロセスの合計がホワイトノイズではない例：

ましょうホワイトノイズです。してみましょうbはT = A T - 1。プロセス{ b t }もホワイトノイズであることに注意してください。ましょC T = A T + bはT、従って 、C T = A T + A T - 1、およびその過程を観察{ C tは }ホワイトノイズではありません。$\{a_t\}$$b_t = a_{t-1}$$\{b_t\}$$c_t = a_t + b_t$$c_t = a_t + a_{t-1}$$\{c_t\}$

@MatthewGunnの答えよりもさらにシンプルで、

考えてみましょう。もちろん、C 、T ≡ 0ホワイトノイズではありません-ノイズの任意の種類、それを呼び出すことは難しいだろう。$b_t = -a_t$$c_t \equiv 0$

より広い点は、とb tの共同分布について何も知らない場合、両方に依存するオブジェクトを試してみると何が起こるか言えないことです。このためには共分散構造が不可欠です。$a_t$$b_t$

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補遺：

もちろん、これはまさにノイズキャンセリングヘッドフォンの目的です！-外部ノイズの周波数を逆転させてキャンセルするため-ホワイトノイズの物理的な定義に戻ると、このシーケンスは文字通りの沈黙です。全くノイズはありません。

電子機器では、ホワイトノイズは、平坦な周波数スペクトル（「ホワイト」）とランダム（「ノイズ」）として定義されます。ノイズは一般に、「干渉」、他の場所からピックアップされて対象の信号に追加される1つ以上の不要な信号、および「歪み」、対象の信号自体に作用する非線形プロセスから生成される不要な信号と対比できます。

2つの異なる信号に相関部分があるため、異なる周波数または異なる時間で異なるキャンセルを行うことができます。たとえば、特定の周波数帯域または特定の時間間隔で完全にキャンセルしますが、キャンセルしない、または追加することさえできます別の周波数帯域にわたって、または特定の時間間隔で建設的に、2つの信号間の相関は相関関係を推定します。相関関係は、「ノイズ」のおそらくランダムな側面によって排除されます。

実際に、信号が「ノイズ」であり、したがって独立してランダムである場合、そのような相関は存在しない/存在するはずがないため、それらを加算するとフラットな周波数スペクトルが得られるため、白色にもなります。

また、些細なことに、ノイズが完全に反相関している場合、それらはキャンセルされ、常にゼロ出力を提供します。これは、フラット周波数スペクトル、すべての周波数でゼロパワーを持ち、白の一種の退化した定義に該当する可能性がありますただし、ランダムではなく、完全に予測できることを除きます。

電子機器のノイズは、いくつかの場所から発生する可能性があります。たとえば、光電流への電子のランダムな到着から発生するショットノイズ（光子のランダムな到着時間から発生）と、絶対零度よりも暖かい抵抗要素内の電子のブラウン運動から発生するジョンソンノイズは両方とも白を生成しますただし、有限の長さの時間にわたって測定された実際のシステムでは、スペクトルの両端に常に有限の帯域幅があります。

両方のホワイトノイズサウンドが同じ方向に移動している場合、およびそれらの周波数の位相が一致している場合、それらだけが追加されます。しかし、私が確信していないことの1つは、加算した後、ホワイトノイズとして残るか、周波数が異なる他の種類のサウンドになることです。