インジケーター機能の背後にある直感は何ですか？

• インジケーター機能とは？

• インジケーター機能の背後にある直感は何ですか？

• 次の例でインジケータ関数必要なのはなぜですか？$I_A$

• 次の例は、インジケーター機能を使用せずに書き換えることはできますか？

してみましょう任意のイベントで。次のように、を期待値として書くことができます。$A$$\Bbb P(A)$

インジケーター関数を定義します。

$$I_A = \begin{cases} 1, & \text{if event $A$ occurs} \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$

次に、は確率変数であり、$I_A$

$$\Bbb E(I_A) = \sum_{r=0}^1 r \cdot \Bbb P(I_A = r) \\ = \Bbb P(A).$$

したがって

$$\Bbb P(A) = \Bbb E(I_A).$$

私はあなたがそれについてもっと直感的に行くことができ、それが何をするかもう一度もう一度言うことができるとは思わない：それは戻る $1$ あなたに興味のあるもののために $0$ 他のすべての場合。

したがって、青い目の人を数えたい場合は、青い目の人ごとに1を返し、それ以外の場合は0を返すインジケーター関数を使用して、関数の結果を合計できます。

期待値と指標関数で定義された確率について：カウント（または1の合計）をケースの総数で割ると、確率が得られます。Peter Whittleの著書では、Probability and Probability via Expectationがこのような確率の定義について多くのことを書いており、確率論の最も基本的な側面の1つとして、期待値とインジケーター関数の使用法も考慮しています。

コメントであなたの質問について

ランダム変数は同じ目的を果たすためにそこにありませんか？お気に入り$H=1$ そして $T=0$？

ええ、そうです！実際、統計では、インジケーター関数を使用して新しい確率変数を作成します。たとえば、正規分布の確率変数があるとします。$X$、次に、インジケーター関数を使用して新しい確率変数を作成できます。

$$I_{2<X<3} = \begin{cases} 1 & \text{if} \quad 2 < X < 3 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

または、2つのベルヌーイ分布確率変数を使用して新しい確率変数を作成できます $A,B$：

$$I_{A\ne B} = \begin{cases} 0 & \text{if } & A=B, \\ 1 & \text{if } & A \ne B \end{cases}$$

...もちろん、あなたにも使用することができます任意の新しいランダム変数を作成するために、他の機能を。インジケーター機能は、特定のイベントに焦点を当て、発生したときに信号を送りたい場合に役立ちます。

物理的なインジケーター関数の場合、6面のサイコロの壁の1つに赤いペンキを使用してマークを付けたとすると、赤と赤以外の結果を数えることができます。サイコロ自体はランダムではありませんが、結果を異なる方法で定義する新しいランダム変数です。

また、インジケーター関数の連続的な対応物のような確率と統計で使用されるディラックデルタについて読むことに興味があるかもしれません。

参照：ベルヌーイ分布で失敗が0で成功が1なのはなぜですか？

インジケーター確率変数は、確率と期待値をシームレスに結び付けるのに役立ちます。指標確率変数を使用してマルコフの不等式を証明するのがいかに簡単かを考えてみましょう。$X$ 非負の確率変数であり、 $\alpha > 0$ そして、些細な不平等に注意してください $\alpha I_{\{ X \geq \alpha \}} \leq X$。次に、両方の期待を取り、代数を実行して$P(X \geq \alpha) \leq \text{E}(X) / \alpha$。包含/除外式のような他の証明もこの関係を利用します。実際、条件付き確率の理論全体は、条件付き期待の理論から発展させることができます。

それらはべき等の意味であるという点でも優れています $I_A^2 = I_A$、これにより、分散の計算が容易になります。また、インジケーター確率変数の積は、それ自体がインジケーター確率変数であり、その期待値は交差の確率です。

最後に、実際には確率的なものではありませんが、インジケーター関数はブール演算を算術演算に変換する優れた方法であり、一般的なプログラミングの目的で役立ちます。例えば、$I_{A \cup B} = \max(I_A, I_B)$ そして $I_{A \cap B} = \min(I_A, I_B)$。