確率変数のサンプルとは何ですか？

ランダム変数は、基礎となる測度を持つ1つの -algebraから別の -algebra測定可能な関数として定義されます。$X$$\sigma$$(\Omega_1, \mathcal F_1)$$P$$\sigma$$(\Omega_2, \mathcal F_2)$

この確率変数のサンプルについてどのように話しますか？要素として扱いますか？またはと同じ測定可能な関数として？$X^n$$\Omega_2$$X$

これについてどこでもっと読むことができますか？

例：

モンテカルロ推定では、サンプルを関数と見なして、推定量の不偏性を証明します。確率変数期待が次のように定義されている場合$(X^n)_{n = 1}^N$$X$

$$\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm dP(\omega_1) \end{align}$$

そして、仮定するとである機能及び、我々は次の通り進行することができます。$X^n$$X^n = X$

$$\begin{align} \mathbb E\left[\frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N f(X^n)\right] &= \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N \mathbb E[f(X^n)] \\ &= \frac{1}{N} \sum_{n = 1}^N \mathbb E[f(X)] \\ &= \mathbb E[f(X)]. \end{align}$$

が要素である場合、最後の方程式のセットを作成できませんでした。$X^n$$\Omega_2$

サンプルは、からまでの測定可能な関数です。このサンプルの実現は、、。$(X^1,\ldots,X^N)$$\Omega_1$$\Omega_2^N$$\omega\in\Omega_1$$(x^1,\ldots,x^N)=(X^1(\omega),\ldots,X^N(\omega))$

述べるとき

が関数であり、と仮定$X^n$$X^n=X$

関数はすべて異なる関数です。つまり、画像は、特定の異なる場合があります。サンプルは（独立同一分布）IIDされた場合、機能 2つの別の特性を有する異なります$X^n$$X^1(\omega),\ldots,X^N(\omega)$$\omega$$X^n$

1. 同一分布。つまり、すべての測定可能な集合について、であることを意味します。$\mathbb{P}(X^1\in A)=\cdots=\mathbb{P}(X^N\in A)$$A$$\mathcal{F}_2$
2. 独立性、つまり、全ての測定セットのでA 1、... 、A N F$\mathbb{P}(X^1\in A^1,\ldots,X^N\in A^N)=\mathbb{P}(X^1\in A^1)\cdots\mathbb{P}(X^N\in A^N)$$A^1,\ldots,A^N$$\mathcal{F}_2$

あなたの定義

$$\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm d\omega_1 \end{align}$$

間違っています：それは

$$\begin{align} \mathbb E[X] = \int_{\Omega_1} X(\omega_1) \,\mathrm dP(\omega_1) \end{align}$$

標本は、確率変数からではなく、母集団から抽出できます。「確率変数のサンプル」は、母集団から抽出されたサンプルがあるという簡単な言い方であり、同一に分布した確率変数であると想定しています。したがって、そのようなサンプルは確率変数のように動作します。確率と統計で使用される用語が混在しているため、あいまいです。シミュレーションと同じで、サンプルは共通の分布から抽出されます。どちらの場合もサンプルはデータですn $n$$n$$n$あなたが持っている。ランダムなプロセスはそれらを描画することにつながるため、サンプルはランダム変数と見なされます。それらは共通の配布に由来するため、同じように配布されます。サンプルを処理するために統計がありますが、統計は確率論の観点から問題の抽象的な数学的記述を使用しているため、用語は混合しています。ランダム変数は、サンプルで発生する可能性のあるイベントに確率を割り当てる関数です。