独立した対数正規確率変数の合計は対数正規に見えますか？

観測数を増やすと、2つ（以上）の対数正規確率変数の合計が対数正規分布に近づく理由を理解しようとしています。オンラインで調べたところ、これに関する結果は見つかりませんでした。

明らかに、とが独立した対数正規変数である場合、指数とガウス確率変数の特性により、も対数正規です。ただし、も対数正規であることを示唆する理由はありません。Y X × Y X + $X$$Y$$X \times Y$$X+Y$

しかしながら

2つの独立した対数正規確率変数およびYを生成し、Z = X + Yとし、このプロセスを何度も繰り返すと、Zの分布は対数正規に見えます。観測数を増やすと、対数正規分布に近づくように見えます。$X$$Y$$Z=X+Y$$Z$

例：100万ペアを生成した後、Zの自然対数の分布が以下のヒストグラムに示されます。これは非常に明らかに正規分布に似ており、が実際に対数正規であることを示唆しています。$Z$

誰かがこれを理解するのに役立つかもしれないテキストへの洞察または参照を持っていますか？

対数正規の合計のこのおおよその対数正規性は、よく知られた経験則です。それは多数の論文で言及されている-そしてサイト上の多くの投稿で。

最初の2つのモーメントを一致させることによる対数正規の合計の対数正規近似は、Fenton-Wilkinson近似と呼ばれることがあります。

Dufresneによるこのドキュメントは役に立つかもしれません（ここ、またはここから入手できます）。

私は過去にも時々ミッチェルの論文を人々に指摘しました

ミッチェル、RL（1968）、
「対数正規分布の永続性」。
J。オプティカルソサエティオブアメリカ。58：1267-1272。

しかし、それは現在、Dufresneのリファレンスでカバーされています。

$n$

これは、1000個のシミュレートされた値のヒストグラムで、それぞれが5万個の iid対数正規の合計の対数です。

ご覧のとおり...ログはかなりゆがんでいるため、合計はlognormalにあまり近づきません。

$n$$n$

*いくつあるかは調べていませんが、合計の歪度（平均値）の振る舞いが原因で、数百万は明らかに不十分です。

$\mu=0$$\sigma=4$

res <- replicate(1000,sum(rlnorm(50000,0,4)))
hist(log(res),n=100)

$n=10^6$

手遅れかもしれませんが、トピックをカバーする対数正規分布の合計に関する次の論文を見つけました。これは対数正規ではありませんが、かなり異なり、操作が困難です。

2009年のDufresneによってadviced紙と、このとともに2004年から1 本便利な論文は 対数正規分布の和の近似値に歴史をカバーし、合計数学的な結果を与えます。

$\mu$$\sigma$

たぶん[このペーパー]（http://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?arnumber=6029348）は、特定のケースで、対数正規の合計に対するある種の中心極限定理を与えますが、まだ一般性の欠如。とにかく、Glen_bによって与えられた例は、古典的な中心極限定理を簡単に適用できる場合であり、もちろんその場合、対数正規の合計がガウスであるので、実際には適切ではありません。

$n\to \infty$

対数正規法則は物理現象に広く存在します。この種の変数分布の合計は、たとえばシステムのスケーリング動作を研究するために必要です。私はこの記事を知っています（非常に長くて非常に強力であり、具体的でない場合は最初に理解できます！）、「対数正規確率変数の合計における広範な分布効果」、2003年に発行（ヨーロッパ物理ジャーナルB凝縮物および複雑物）システム32、513）およびhttps://arxiv.org/pdf/physics/0211065.pdfから入手できます。