Benjamini-Hochbergで調整されたp値の式は何ですか？

手順とそれが制御するものを理解しています。それでは、多重比較のためのBH手順の調整されたp値の式は何ですか？

たった今、オリジナルのBHが調整されたp値を生成せず、（非）拒否条件のみを調整したことに気付きました：https : //www.jstor.org/stable/2346101。Gordon Smythは、とにかく2002年に調整されたBH p値を導入したので、問題は依然として当てはまります。p.adjustmethodと同様にRで実装されていBHます。

有名な独創的なBenjamini＆Hochberg（1995）の論文は、アルファレベルの調整に基づいて仮説を受け入れる/拒否する手順を説明しています。この手順には、調整された$p$値に関して単純な同等の再定式化がありますが、元の論文では説明されていません。ゴードン・スミスによると、彼は調整導入$p$実装する場合は、2002年に-値をp.adjust、常に1がBH-調整使用する場合は、1つは、引用すべきか私には不明であったので、残念ながらR.で、該当する引用は、存在しない$p$ -値を。

結局のところ、手順はBenjamini、Heller、Yekutieli（2009）で説明されています。

この手順の結果を表示する別の方法は、調整された$p$値を表示することです。BH調整$p$ -値は以下のように定義されている

$$p^\mathrm{BH}_{(i)} = \min\Big\{\min_{j\ge i}\big\{\frac{mp_{(j)}}{j}\big\},1\Big\}.$$

この式は実際よりも複雑に見えます。それは言います：

1. 最初に、すべての$p$値を小さい順に並べます。次に、各$p$値にテストの総数$m$を乗算し、その順位で除算します。
2. 次に、結果のシーケンスが減少しないことを確認します。減少し始める場合は、前の$p$値を後続の値と等しくします（繰り返し、シーケンス全体が非減少になるまで）。
3. いずれかの$p$値が1を超える場合、1に等しくします。

これは、1995年の元のBH手順の簡単な再定式化です。BH 調整$p$値の概念を明示的に紹介した以前の論文が存在する可能性がありますが、私は知りません。

更新。@Zenitは、Yekutieli＆Benjamini（1999）が1999年にすでに同じことを説明していることを発見しました。

$p_0$$p$$z_0$$N_0$$\le$ $p_0$$N$

• $\text{FDR }(p_0) = \frac{\quad p_0 \quad }{\frac{N_0}{N}}$

• $\text{FDR }(p_i) = \min (\text{FDR}(p_i), \text{FDR}(p_{i+1}))$

これを理解しましょう。（ベイジアン）の根底にある考え方は、観測は2つの分布の混合から得られるというものです。

• $\pi_0 \: N$$f_0(z)$
• $(1-\pi_0) \: N$$f_1(z)$

観察されるのは、これら2つの混合です。

• $f(z) = \pi_0 \cdot f_0(z) + (1-\pi_0) \cdot f_1(z)$

（ベイジアン）定義は次のとおりです。

• $\text{Fdr} = \frac{\pi_0 \: (1-F_0(z_0))}{(1-F(z))}$
• $\text{fdr} = \frac{\pi_0 \: f_0(z_0)}{f(z)}$

$\pi_0 \approx 1$

（Efron＆Tibshiraniのコンピューター年齢統計推論に基づく）