AR（1）はマルコフ過程ですか？

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などのAR（1）プロセス はマルコフプロセスですか？yt=ρyt−1+εt

もしそうなら、VAR（1）はマルコフ過程のベクトル版ですか？

time-series 
— 空飛ぶ豚
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回答:

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場合：次の結果が成り立つϵ1,ϵ2,…あり独立に撮影値Eとf1,f2,…関数であるfn:F×E→Fと、次いでXnのように再帰的に定義します

Xn=fn(Xn−1,ϵn),X0=x0∈F

プロセス(Xn)n≥0でF始まるマルコフ過程であるx0。ϵが同一に分布し、すべてのf関数が同一である場合、プロセスは時間的に均一です。

AR（1）とVAR（1）は両方ともこの形式で与えられるプロセスです

fn(x,ϵ)=ρx+ϵ.

場合はこのように彼らは、均質なマルコフ過程であるϵさんはIIDです

技術的には、スペースとFは測定可能な構造を必要とし、f関数は測定可能でなければなりません。空間Fがボレル空間である場合、逆の結果が成立することは非常に興味深いです。以下のための任意のマルコフ過程（X N ）N ≥ 0ボレル空間にF IID一様確率変数が存在するε 1、ε 2、...に[ 0 、1 ]および関数F N：F ×EFfF(Xn)n≥0Fϵ1,ϵ2,…[0,1]よう確率一つと X N = F N（X N - 1、ε N）。 Kallenberg、Foundations of Modern Probabilityの命題8.6を参照してください。fn:F×[0,1]→F

Xn=fn(Xn−1,ϵn).
— NRH
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プロセスはAR（1）プロセスですXt

Xt=c+φXt−1+εt

どこの誤差、 IIDされています。プロセスには、次の場合にマルコフ特性があります。εt

P(Xt=xt|entire history of the process)=P(Xt=xt|Xt−1=xt−1)

最初の方程式から、確率分布は明らかにX t − 1のみに依存するため、はい、AR（1）プロセスはマルコフプロセスです。XtXt−1

— 大きい
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-1、別のポスターと同じ理由。答えは、引用されたマルコフ特性を簡単に確認できることを意味します。別の方法で示されない限り、そうではありません。AR（1）プロセスを用いて定義することができることにも留意されたいこれもadressedなければならないので、ある非IID。εt
— mpiktas
1
主な問題は、我々は簡単に書くことができるということであるして、最後の文があることを暗示うP （X 、T = X T |歴史全体を）= P （X t = x t | X t − 2 = x t − 2）Xt=c+ϕc+ϕ2Xt−2+ϕεt−1+εtP(Xt=xt|entire history)=P(Xt=xt|Xt−2=xt−2)。
— mpiktas
さて、markovプロセスは、X t − 1にも条件付けしていない場合、に依存します。もっと正式な議論は、あなたが順番に条件付けをしていると仮定するだろう（つまり 、X t − 1にすでに条件付けしていない限り、X t − 2を含めない）。Xt−2Xt−1Xt−2Xt−1
— マクロ
そしてあなたが実際にそこに書いてきたことの両方に依存およびX T - 1（エラーによる用語ε T - 1）。結論として、共同尤度は、前の時点での条件付けのみを必要とする条件付き尤度の積として簡単に記述できるということです。パラメーターの冗長性により、X tの分布がX t − 2に依存するように見せることができますが、X t − 1Xt−2Xt−1εt−1XtXt−2Xt−1、明らかにそうではありません。（ps私はShumwayとStoefferの時系列本ごとにAR（1）プロセスの標準定義を使用していました）
— マクロ
注：答えが間違っているとは言いません。つまり、2番目の平等は直観的に明らかであるということですが、正式に証明したい場合はそれほど簡単ではありません。
— mpiktas
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マルコフ過程とは何ですか？（ゆるやかに見ている）確率過程は、条件が

P[X(t)=x(t)|X(0)=x(0),...,X(t−1)=x(t−1)]=P[X(t)=x(t)|X(t−1)=x(t−1)]

保持します。プロセスの次の値（つまり、次の値の分布）は現在のプロセス値にのみ依存し、残りの履歴には依存しないため、マルコフプロセスです。自己回帰プロセスの状態を観察するとき、過去の履歴（または観察）は追加情報を提供しません。したがって、これは、次の値の確率分布が過去に関する情報によって影響を受けない（独立している）ことを意味します。AR(1)

同じことが一次多変量マルコフ過程であるVAR（1）にも当てはまります。

— トーマス
ソース
場合フム、 IIDされていない、私はそれを保持しているとは思いません。また、あなたは証拠を与えず、マルコフの特性のみを引用しました。εt
— -mpiktas
マルコフ過程は連続的な場合を指すと思いました。通常のAR時系列は離散的であるため、マルコフ過程ではなくマルコフ連鎖に対応する必要があります。
— joint_p
XtXt−1,Xt−2,...
@joint_p、用語は文献で完全に一貫していません。歴史的に、私が見るように、「プロセス」の代わりに「チェーン」を使用することは、通常、プロセスの状態空間が離散的であるが、時として離散的であることへの参照でした。現在、多くの人は「連鎖」を使用して離散時間を参照していますが、マルコフ連鎖モンテカルロのように、一般的な状態空間を考慮しています。ただし、「プロセス」の使用も正しいです。
— -NRH
1
tt−1,t−2,...t+1t+1
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