期待値は、非正規分布の平均値、中央値などとどのように関連していますか？

連続確率変数の期待値は、非正規分布（例：歪正規）の算術平均、中央値などとどのように関連していますか？一般的で興味深い分布（例えば、対数正規、単純なバイ/マルチモーダル分布、その他奇妙で素晴らしいもの）に興味があります。

私は主に定性的な回答を探していますが、定量的または定式的な回答も歓迎します。私は特にそれをより明確にする視覚的表現を見たいと思います。

（上記の私の削除済みコメントから部分的に変換されました）

期待値と算術平均はまったく同じものです。中央値は平均と重要な関係にありますが、それらの関係についていくつかのことが言えます。

• 分布が対称である場合、平均と中央値は同じです

• 分布が負に歪んでいる場合、中央値は通常平均よりも大きい

• 分布が明確に歪んでいる場合、中央値は通常平均よりも小さい

$X \sim \mathcal{LN}\left( \mu,\sigma^2 \right)$

• $\mathrm{HM}(X) = \mathrm{e}^{\mu - \frac{1}{2}\sigma^2}$
• $\mathrm{GM}(X) = \mathrm{e}^{\mu}$
• $\mathrm{AM}(X) = \mathrm{e}^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2}$

調和平均と算術平均の積が幾何平均の2乗を生成することを確認することは難しくありません。つまり、

$$\mathrm{HM}(X) \cdot \mathrm{AM}(X) = \mathrm{GM}^2(X).$$

$X$$X$$X$

$$\mathrm{GM}(X) = \sqrt{ \mathrm{HM}(X) \cdot \mathrm{AM}(X) }.$$

さらに、よく知られているHM-GM-AM不等式

$$\mathrm{HM}(X) \leq \mathrm{GM}(X) \leq \mathrm{AM}(X)$$

次のように表すことができます

$$\mathrm{HM}(X) \cdot \sqrt{\mathrm{GVar}(X)} = \mathrm{GM}(X) = \dfrac{\mathrm{AM}(X)}{\sqrt{\mathrm{GVar}(X)}},$$

$\mathrm{GVar}(X) = \mathrm{e}^{\sigma^2}$

完全を期すために、平均が十分に定義されていない分布もあります。古典的な例はコーシー分布です（この回答には理由がわかりやすく説明されています）。もう1つの重要な例は、指数が2未満のパレート分布です。

数学的な平均値と期待値が同じように定義されていることは正しいですが、歪んだ分布の場合、この命名規則は誤解を招くようになります。

あなたは彼女の街の住宅価格について友達に聞いているところを想像してみてください。

住宅の賞品の分布が単峰型で対称的である場合、友達は住宅の平均価格を教えてくれます。実際、市場でほとんどの住宅をその平均値の周りで見つけることが期待できます。

ただし、住宅価格の分布が単峰で歪んでいる場合、たとえば、ほとんどの住宅が低価格帯で左に、一部の法外な住宅のみが右側にある場合、平均は高価格に「歪む」ことになります。権利。

この単峰型の歪んだ住宅価格の分布については、中央値付近の市場でほとんどの住宅が見つかると予想できます。