mean = modeは対称分布を意味しますか？

mean = medianの場合にこの質問が行われたことは知っていますが、mean = modeに関連するものは見つかりませんでした。

モードが平均に等しい場合、これは常に対称分布であると結論付けることができますか？この方法の中央値も知る必要がありますか？

平均=モードは対称性を意味しません。

平均=中央=モードであっても、必ずしも対称性があるとは限りません。

そして、潜在的なフォローアップを見越して-mean = median = modeであり、3番目の中心モーメントがゼロ（モーメントスキューネスが0）であっても、必ずしも対称性はありません。

...しかし、そのフォローアップがありました。NickTはコメントで、すべての奇数モーメントをゼロにするだけで対称性が必要かどうかを尋ねました。それに対する答えもノーです。[最後の説明を参照してください。† ]$^\dagger$

これらのさまざまなものはすべて対称性によって暗示されます（関連するモーメントが有限であると仮定します）が、その意味は逆にはなりません。

反例の構築は非常に簡単です。

次の離散分布を考慮してください。

  x     -4    0    1    5
P(X=x)  0.2  0.4  0.3  0.1

平均値、中央値、モード、および3番目の中心モーメント（したがって、モーメント歪度）はすべて0ですが、非対称です。

この種の例は、純粋に連続した分布でも同様に実行できます。たとえば、同じプロパティの密度を次に示します。

これは、-6、-4、-3、-1、0、1、2、5の平均と、0.08、0.08、0.12、0.08、0.28、0.08の混合重みを持つ対称三角密度（それぞれ範囲2）の混合です。 、0.08、0.20。私が今これを作ったという事実-それを一度も見たことがありません-は、これらのケースがいかに簡単に構築できるかを示唆しています。

[モードが視覚的に明確になるように三角形の混合成分を選択しました。より滑らかな分布を使用できたはずです。]

以下は、これらの条件がどの程度対称性から得られるかについてのHong Ooiの質問に対処するための追加の個別の例です。これは決して限定的なケースではなく、対称性の低い例を簡単に作成できることを示しています。

   x    -2    0    1    6
P(X=x) 0.175 0.5  0.32 0.005

0のスパイクは、条件を変更せずに比較的高くまたは低くすることができます。同様に、右側のポイントは、1と-2の相対高さを大きく変えることなく（確率を減らして）遠くに配置できます（つまり、右端を動かすと、相対確率は2：1の比率に近くなります）要素について）。

NickTの質問への回答の詳細

$\dagger$

その分布を対称とは呼びません。

いや

$X$$p(X = -2) = \tfrac{1}{6}$$p(X = 0) = \tfrac{1}{2}$$p(X = 1) = \tfrac{1}{3}$$X$

私が他の場所で与えた答えを繰り返すために、ここにも適合します：

これは、平均、中央値、モードがすべて等しいだけでなく、歪度もゼロです。他の多くのバージョンが可能です。