RVの対数の期待値がある場合、RV自体の期待値を取得できますか？

9

仮定与えられ、Iは、導出することができる閉形形式でか？ $\text{E}[\log(X)]$ $\text{E}[X]$

expected-value logarithm

— テオデン
ソース

ログxまたはxの分布を知っていますか？例えば。されている正規分布しますか？任意の分布に従う最も一般的なケースでは、多くを言うことはできません。

x

$x$

x

$x$

— Matthew Gunn

いいえ。log（x）の平均値のみが示されています。

— Theoden 2016

10

Jensenの不等式のため、としか言えません。

E [\log (x)] \leq \log (E [x])

$\mathrm{E}[\log(x)] \leq \log \left( \mathrm{E}[x] \right)$

— Matthew Gunn

回答:

15

番号。

たとえば、が対数正規分布に従い、場合、あり、独立しています。ただし、その平均はです。明らかに、あなたは派生させることはできませんから依存数を独立した数。 $X$ $\log(X) \sim N(\mu,\sigma)$ $E[\log(x)] = \mu$ $\sigma$ $E[X] = \exp \left(\mu + \frac{\sigma^2}{2} \right)$ $\sigma$ $\sigma$

— jwimberley
ソース

それは理にかなっている。それではもっと情報が必要です。

— Theoden 2016

4

または、非常に単純な例として、離散確率変数X（確率1/3で値1を取り、確率2/3で値1を取る）、およびY（確率2/3で値1を取る、確率1/3で100を取る）を考えます。。次に、E [log X] = E [log Y] = 1/3（または、対数を10よりも理にかなった基数にしたいが、任意の基数100 = 2 log 10であるため等しい場合は、他の数値）。ただし、E [X]！= E [Y]。

— スティーブジェソップ2016

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