ベータ分布の2つの分位数はそのパラメーターを決定しますか？

私は2つの変位値を与える場合及びそれらの対応する位置（L 1、L 2）開いた間隔で（各）（0 、1 ）私は常に、これらの変位値を持つベータ分布のパラメータを見つけることができるが、指定された場所？$(q_1,q_2)$$(l_1,l_2)$$(0,1)$

$a$$(a,b)$$x$$x$$b$$x$

詳細は以下の通りです。

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$q_1$$x_1$$q_2$$x_2$$1 \gt q_2 \gt q_1 \gt 0$$1 \gt x_2 \gt x_1 \gt 0$$a$$b$$(a,b)$

$a\gt 0$$b \gt 0$$(a,b)$

$$f(x;a,b) = \frac{1}{B(a,b)} x^{a-1}(1-x)^{b-1}.$$

正規化定数はベータ関数です

$$B(a,b) = \int_0^1 x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,\mathrm{d}x = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}.$$

$f(x;a,b)$$a$$b$

ベータ関数を分析する必要がないようにする1つの方法は、変位値が相対的な領域であることに注意することです。 あれは、

$$q_i = F(x_i;a,b)=\frac{\int_0^{x_i} f(x;a,b)\,\mathrm{d}x}{\int_0^1 f(x;a,b)\,\mathrm{d}x}$$

$i=1,2$$F$$(1.15, 0.57)$$x_1=1/3$$q_1=1/6$

$x\to f(x;a,b)$$q_1$$x_1$$q_2$$x_2$$(x_1,q_1)$$(x_2,q_2)$

$(x_1,q_1)$$(1/3,1/6)$$a$$1.15$$b$$(x_1,q_1)$$(a,b)$

$b$

$(x_1, q_1)$$x_1$$q_1$$a\gt 0$$b$$b(a),$$x_1$$q_1$$(a,b(a))$ 分布。

$b$$0$$F(x_1;a,b)$$1$$b$$1$$F(x_1;a,b)$$0$$b\to F(x_1;a,b)$$b$

$x\to x^{a-1}(1-x)^{b-1}$ $x\to x^{a-1}(1-x)^{b^\prime-1}$$b^\prime \gt b$$(1-x)^{b^\prime-b}$$1$$x=0,$$0$$x=1.$$x\to f(x;a,b^\prime)$$x\to f(x;a,b)$$x$$x_1$$x$$x_1.$$x_1$$x_1.$

$b\to f(x_1;a,b)$$0$$1$$b\to 0$$b\to\infty,$$b(a)$$f(x_1;a,b(a))=q_1$ そしてその数は一意であり、補題を証明します。

$b$$x_2$$f(x_2;a, b(a))$$a$$0$$\infty.$$f(x_2;a,b(a))$$a\to 0$$q_1.$

$a$$0$$0.1$$x_1=1/3$$q_1=1/6$$b(a) \approx 0.02.$$x_1$$x_2:$

$x_1$$x_2,$$q_2$$q_1.$$a\to 0$$q_2 \to q_1.$

$a$$F(x_2;a,b(a))$$1.$$(x_1,q_1)$

$a=8$$b(a)$$10.$$F(x_2;a,b(a))$$1:$$x_2.$

$q_2$$q_1$$1$$a$$F(x_2;a,a(b))=q_2.$$a$

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R$\alpha$$\beta$