Rを使用した、データに不確実性がある線形モデル

不確実なデータがあるとしましょう。例えば：

X  Y
1  10±4
2  50±3
3  80±7
4  105±1
5  120±9

不確かさの性質としては、繰り返し測定や実験、測定器の不確かさなどがあります。

Rを使用してカーブをフィットさせたいのですが、通常はで行いlmます。ただし、これは、フィット係数の不確実性、したがって予測区間の不確実性を私に与える場合、データの不確実性を考慮に入れていません。ドキュメントを見ると、lmページにはこれがあります：

...重みは、異なる観測値に異なる分散があることを示すために使用できます...

だから、多分これは何か関係があるのではないかと思います。私はそれを手動で行う理論を知っていますが、lm関数でそれを行うことが可能かどうか疑問に思っていました。そうでない場合、これを実行できる他の関数（またはパッケージ）はありますか？

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コメントのいくつかを見て、ここにいくつかの明確化があります。この例を見てみましょう：

x <- 1:10
y <- c(131.4,227.1,245,331.2,386.9,464.9,476.3,512.2,510.8,532.9)
mod <- lm(y ~ x + I(x^2))
summary(mod)

くれます：

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-32.536  -8.022   0.087   7.666  26.358 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  39.8050    22.3210   1.783  0.11773    
x            92.0311     9.3222   9.872 2.33e-05 ***
I(x^2)       -4.2625     0.8259  -5.161  0.00131 ** 
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 18.98 on 7 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.986, Adjusted R-squared:  0.982 
F-statistic: 246.7 on 2 and 7 DF,  p-value: 3.237e-07

基本的に、私の係数はa = 39.8±22.3、b = 92.0±9.3、c = -4.3±0.8です。今度は、各データポイントのエラーが20だとしましょう。呼び出しで使用するweights = rep(20,10)と、lm代わりに次のようになります。

Residual standard error: 84.87 on 7 degrees of freedom

ただし、係数のstdエラーは変化しません。

手動で、行列代数を使用して共分散行列を計算し、そこに重み/エラーを入れ、それを使用して信頼区間を導出する方法を知っています。それで、lm関数自体、または他の関数でそれを行う方法はありますか？

このタイプのモデルは実際には、「通常の」線形回帰よりも、科学や物理学などの特定の分野ではるかに一般的です。したがって、のような物理ツールではROOT、このタイプの近似を行うのは簡単ですが、線形回帰はネイティブに実装されていません。物理学者はこれを単に「フィット」またはカイ二乗最小化フィットと呼ぶ傾向があります。

$\sigma$

$$L \propto \prod_i e^{-\frac{1}{2} \left( \frac{y_i-(ax_i+b)}{\sigma} \right)^2}$$ $$\log(L) = \mathrm{constant} - \frac{1}{2\sigma^2} \sum_i (y_i-(ax_i+b))^2$$ $\sigma$ $$L \propto \prod e^{-\frac{1}{2} \left( \frac{y-(ax+b)}{\sigma_i} \right)^2}$$ $$\log(L) = \mathrm{constant} - \frac{1}{2} \sum \left( \frac{y_i-(ax_i+b)}{\sigma_i} \right)^2$$ $1/\sigma_i^2$$\log(L)$

$F=ma$$F=ma+\epsilon$lm$\sigma^2$lm

lmの重みと標準誤差

そこに回答で与えられたいくつかの可能な解決策があります。特に、そこでの匿名の回答は、

vcov(mod)/summary(mod)$sigma^2

lm$\sigma$

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あなたがこの種のことをたくさんしているなら、あなたは使用を検討するかもしれませんROOT（これはネイティブでそうしているようで、そうではlmありglmません）。これをで行う方法の簡単な例を次に示しROOTます。まず、ROOTC ++またはPythonを介して使用でき、その巨大なダウンロードとインストールが可能です。Jupiter Notebookを使用してブラウザで試すことができます。ここにあるリンクをたどり、右側で「Binder」、左側で「Python」を選択します。

import ROOT
from array import array
import math
x = range(1,11)
xerrs = [0]*10
y = [131.4,227.1,245,331.2,386.9,464.9,476.3,512.2,510.8,532.9]
yerrs = [math.sqrt(i) for i in y]
graph = ROOT.TGraphErrors(len(x),array('d',x),array('d',y),array('d',xerrs),array('d',yerrs))
graph.Fit("pol2","S")
c = ROOT.TCanvas("test","test",800,600)
graph.Draw("AP")
c.Draw()

$y$

Welcome to JupyROOT 6.07/03

****************************************
Minimizer is Linear
Chi2                      =       8.2817
NDf                       =            7
p0                        =      46.6629   +/-   16.0838     
p1                        =       88.194   +/-   8.09565     
p2                        =     -3.91398   +/-   0.78028    

そして素晴らしいプロットが生成されます：

$x$lm

二次編集

@Wolfgangによる同じ前の質問からの他の回答は、さらに良い解決策を提供します：パッケージrmaからのツールmetafor（その回答のテキストを最初に解釈して、切片を計算しなかったことを意味しますが、そうではありません）。測定値yの分散を単純なyとする：

> rma(y~x+I(x^2),y,method="FE")

Fixed-Effects with Moderators Model (k = 10)

Test for Residual Heterogeneity: 
QE(df = 7) = 8.2817, p-val = 0.3084

Test of Moderators (coefficient(s) 2,3): 
QM(df = 2) = 659.4641, p-val < .0001

Model Results:

         estimate       se     zval    pval    ci.lb     ci.ub     
intrcpt   46.6629  16.0838   2.9012  0.0037  15.1393   78.1866   **
x         88.1940   8.0956  10.8940  <.0001  72.3268  104.0612  ***
I(x^2)    -3.9140   0.7803  -5.0161  <.0001  -5.4433   -2.3847  ***

---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

これは間違いなく、私が見つけたこの種の回帰に最適な純粋なRツールです。