なぜが、？

このAP中央ページで、ランダム変数と代数変数の著者であるPeter Flanagan-Hydeは、代数変数とランダム変数の区別を描いています。

部分的に彼は言います

$x + x = 2x$、ただし $X + X \neq 2X$

-実際、それは記事のサブタイトルです。

代数変数とランダム変数の基本的な違いは何ですか？

それでは、まずこの質問に答えましょう。「代数変数とランダム変数の基本的な違いは何ですか？」

ランダム変数は、代数変数ではありません。正式には、確率空間からまでの関数として定義されます。$X$$\Omega$$\mathbb R$

OK ...本当に意味するのは、ランダムな実験（サイコロを投げる、ランダムな人間を選ぶなど）を実行し、これらの実験で測定を行うことです（サイコロの上面の数、身長、性別、人間のコレステロール値など） ）。セットは、可能なすべての実験のセットです。特定の実験では、測定値ます。そのため、正式にはからへの関数です。ω ∈ Ω X （ω ）$\Omega$$\omega\in\Omega$$X(\omega)$$\Omega$$\mathbb R$

現在、一般的にについては完全に忘れています。確率変数は、確率則の観点から定義されます。公平なサイコロの場合、あなたはただ言う$\Omega$

• k=1、…、6Xk$\mathbb P(X = k) = {1\over 6}$ for（等しいの確率は、1から6までの 1/6 ）、$k=1,\dots,6$$X$$k$$k$

の代わりに

• $\mathbb P\left( \bigl\{ \omega \in \Omega \ : \ X(\omega) = k\bigr\}\right)$（メジャー（上面）がであるダイスのセット確率は1/6）...$X$$k$

より簡単です。生徒を悩ますことを完全に回避することさえできます。$\Omega$

これが何らかの光を放つことを願っています。

この男が意味するのは、そのようなメジャーとそれ自体の合計がこのメジャーの2倍ではないということではありません。残念ながら、それは彼が書いたものです。彼が意味することは、異なる実験で実行された2つのそのような測定の合計は、測定の2倍よりも同じ法則を持たないということです。これはと書くことができます（とが同じ分布を持っているという事実は、がと同じ分布を持っていることを意味しません）。X 1〜X 2 ⇏ X 1 + X 2〜2 X 1 X 1 X 2 X 1 + X 2 2 X $X + X \ne 2X$$X_1 \sim X_2 \not\Rightarrow X_1 + X_2 \sim 2X_1$$X_1$$X_2$$X_1 + X_2$$2 X_1$

[質問の以前のバージョンでは、数学を完全に回避する回答を求めていました。この答えは、質問されているドキュメントと同様のレベルで、直感的な動機付けを与える試みでした。]

と表示されている場合、リンクされたページは間違っています。$X+X\neq 2X$

例のは、ダイの表面に表示される数字を表すランダム変数です。「6面のダイを1回ロールして、ダイの表面の数字で記録する」などの実験の結果です。$X$

だから、あなたはサイコロを振って、あなたが見たものを書き留めます。記録する数字は ...ですので、はそれ自体に追加された結果を表します。別のサイコロを振っても、以前に書き留めていた数字は変わりません。X + $X$$X+X$

ページの後半：

ただし、2つのサイコロを振ると、結果は異なります。2ダイスプロセス結果を表すランダム変数を呼び出します（「2」の場合）。書くことができます。この方程式は、がランダム変数 2つの独立したインスタンスの結果であるという事実を表します$T$T $T = X + X$$T$$T$

その引用の最後には、おそらくタイプミスで、彼らの平均ではないが（それがあった場合以来彼らは言っ自身の2つのインスタンスの結果でした）。しかし、その置き換えではまだ正しくありません。$X$T $T$$T$$T$

実験の独立したインスタンスが2つある場合（サイコロを転がし、表示されている数字を記録する）、2つの異なるランダム変数を扱っています。

だから、私は赤いダイと青いダイを持っていると想像してください。次に、「赤のダイの結果を、青のダイの結果を」と言うことができます。次に、をこれらの2つのサイコロに表示される数字の合計と定義することにより、リンクされたページの例に従うことができます。したがって、です。サイコロとサイコロのプロセスが公平な場合、と分布は同じですが、とランダム変数-は異なります。X 2 T T = X 1 + X 2 X 1 X 2 X $X_1$$X_2$$T$$T=X_1+X_2$$X_1$$X_2$$X_1$$X_2$

[ランダム変数（及びそれらの合計）のwhuberにより、優れた議論ありますここでは、と（の場所でより技術的な場合）確率変数の概念は、もう少し詳細に覆われているここ。少なくとも最初のリンクで答えを読むことをお勧めします。]

この問題は、著者が確率変数とその分布を混同したために生じました。あなたはここでそれを見ることができます：

この場合、生徒は代数変数について考えるのと同じように、ランダム変数Xを単一の未知の値を表すと考えます。しかし、Xは実際に、可能な値と関連する確率の分布を指します。

彼はランダム変数をその分布で明示的に圧縮します。

実際、ランダム変数は他の代数変数と同じように多くの点で多くの場合同じ方法で操作できます。特に、単一の単変量確率変数は、2つの異なる数量（2つの異なるサイコロの結果など）を同時に表しません。実際にはです。2 $X+X$$2X$

リンク先のページは完全に間違っています。彼は2つの独立したサイコロを転がしていると述べているにもかかわらず、書いています。つまり、彼は書く必要があります。ここで、とは2つのサイコロの結果です。$T = X + X$$T = X + Y$$X$$Y$

ランダム変数は、2つ以上ではなく、サイコロの投球を観察することの実現でなければならないため、両方の呼び出すのは間違っています。$X$$X$$one$

ランダム変数の場合、あることが確かに真実です。$X+X=2X$