ピアソン相関係数の値が-1未満または1を超えることは可能ですか？

大規模なデータセットに対してこの式に従ってピアソン相関係数を計算しようとしています：

ほとんどの場合、私の値は-1から1の間ですが、次のような奇妙な数値が表示されることがあります。

1.0000000002
-3 

等々。これをもたらす奇妙なデータがある可能性はありますか、それとも計算にエラーがあることを意味しますか？

たとえば、Xの合計が1で、X ^ 2の合計が1になる場合があることに気づきました。これにより、1.00000002のような値になります。それ以外の場合は、XYの合計を0として、計算結果は-3になります。これは統計的に可能ですか、それとも私の計算にエラーがありますか？

使用している数式は、数値的に不安定であることが長い間知られています。二乗平均が分散と比較して大きい場合、および/または平均積が共分散と比較して大きい場合、分子と分母の括弧で囲まれた項の違いにより、壊滅的なキャンセルの問題が発生する可能性があります。

これにより、計算された分散または共分散が1桁の精度も保持しない（つまり、役に立たないよりも悪い）場合があります。

これらの式は使用しないでください。人々が手作業で計算したとき、彼らはそれを見ることができ、そのような精度の低下が起こったときに対処するとき、それらはある程度理にかなっています。たとえば、これらの数式の使用は、通常、次のような数字を排除することによって行われました。

 8901234.567...
 8901234.575...
 8901234.412...

最初に（少なくとも）8901234が減算されます。これにより、作業時間を大幅に節約するだけでなく、キャンセルの問題を回避できます。その後、平均（および同様の数量）は最後に調整され、分散と共分散はそのまま使用できます。

同様のアイデア（および他のアイデア）をコンピューターで使用できますが、実際には、いつ必要になるかを推測するのではなく、常に使用する必要があります。

この問題に対処する効率的な方法は半世紀以上前から知られていました。たとえば、Welfordの1962年の論文[1]を参照してください（1パスの分散アルゴリズムと共分散アルゴリズムを示しています。安定した2パスのアルゴリズムはすでによく知られています）。Chan et al [2]（1983）は、いくつかの分散アルゴリズムを比較し、どれを使用するかを決定する方法を提供します（ほとんどの実装では、一般的に人々は1つのアルゴリズムしか使用しません）。

分散に関するウィキペディアのこの問題に関する議論と分散アルゴリズムに関するその議論を参照してください。

同様のコメントが共分散にも当てはまります。

[1] BPウェルフォード（1962）、
「修正された二乗
和の計算方法と積」、Technometrics Vol。4、Iss。3、419-420
（引用リンク）

[2] TF Chan、GH GolubおよびRJ LeVeque（1983）
「サンプル分散を計算するためのアルゴリズム：分析と推奨」、
The American Statistician、Vol。37、No。3（1983年8月）、pp。242-247
Techレポートバージョン

ピアソン相関係数は確かに $-1$ そして $+1$（含む）。これは、コーシーシュワルツの不等式によるものです。

の相関係数を取得する $1.0000000002$ 数値エラーが原因である可能性があります（可能性は低いです）が、-3はほぼ間違いなく実装のエラー（または数値に適さないプラットフォーム！）を示します。