「等間隔の」サンプルから始まるユニットディスクの回帰

ユニットディスク上の複雑な回帰問題を解決する必要があります。元の質問は興味深いコメントを集めましたが、残念ながら回答はありませんでした。それまでの間、この問題についてさらに多くのことを学びました。したがって、元の問題をサブ問題に分割して、今回の運が良かったかどうかを確認します。

ユニットディスク内の狭いリングに規則的に配置された40個の温度センサーがあります。

これらのセンサーは時間内に温度を取得します。ただし、時間の変動は空間の変動よりもはるかに小さいため、時間の変動を無視して問題を単純化し、各センサーが時間平均のみを与えると仮定します。これは、40のサンプル（各センサーに1つ）があり、繰り返しのサンプルがないことを意味します。

センサーデータから回帰曲面を作成したいと思います。回帰には2つの目標があります。$T=f(\rho,\theta)+\epsilon$

1. 平均半径方向温度プロファイルを推定する必要があります。線形回帰では、平均温度面である面をすでに推定しているので、に関して面を統合するだけでよいのですよね？回帰に多項式を使用する場合、この手順は簡単なはずです。$T_{mean}=g_1(\rho)+\epsilon$$\theta$
2. 放射状の温度プロファイルを推定する必要があります。これにより、各放射状の位置でます。$T_{95}=g_2(\rho)+\epsilon$$P(T(\rho)<T_{95}(\rho))=.95$

これら2つの目標を踏まえて、ユニットディスクの回帰にはどの手法を使用すればよいですか？もちろん、ガウスプロセスは一般的に空間回帰に使用されます。ただし、ユニットディスクの適切なカーネルの定義は簡単なものではないため、失う戦略だと思わない限り、物事を単純に保ち、多項式を使用したいと思います。ゼルニケ多項式について読みました。ゼルニケ多項式は周期的であるため、単位ディスクの回帰に適しているようです。$\theta$

モデルを選択したら、推定手順を選択する必要があります。これは空間回帰問題であるため、さまざまな場所でのエラーは相関させる必要があります。通常の最小二乗法は相関のないエラーを想定しているため、一般化された最小二乗法がより適切だと思います。gls標準R分布に関数がある場合、GLSは比較的一般的な統計手法のようです。しかし、私はGLSを使用したことがなく、疑問があります。たとえば、共分散行列をどのように推定しますか？少数のセンサーを使用したとしても、うまくいった例は素晴らしいでしょう。

PS私はゼルニケ多項式とGLSを使用することを選択しました。これは、ここで行うのが論理的であるように思えるためです。ただし、私は専門家ではありません。私が間違った方向に進んでいると感じた場合は、完全に異なるアプローチを自由に使用してください。

あなたはゼルニケ多項式のようなものについて考えるのに正しい道を進んでいると思います。jwimberlyの回答で述べたように、これらはディスク上の直交基底関数のシステムの例です。私はゼルニケ多項式に精通していませんが、直交関数（ベッセル関数を含む）の他の多くのファミリーは、古典的な数理物理学で特定の偏微分方程式の固有関数として自然に発生します（この執筆時点では、リンクの上部にあるアニメーションでもは、振動ドラムヘッドの例を示しています）。

2つの質問が思い浮かびます。最初に、すべてが放射状プロファイル（平均）である場合、空間パターンにどのくらいの制約が必要ですか？第二に、時空間データにはどのような種類の変動が発生するのでしょうか。$\theta$

最初の質問に関して、頭に浮かぶ2つの懸念があります。極座標のため、各センサーのサポート領域には傾向があります。2番目の懸念事項は、エイリアシングの可能性です。本質的に、パターンの位相に対するセンサーの位置ずれです（フーリエ/ベッセルのアナロジーを使用するため）。エイリアシングは、ピーク温度を制限する際の主要な不確実性であることに注意してください（つまり、）。$r$$T_{95}$

この2番目の質問に関しては、データの変動性が実際にエイリアシングの問題を解決する可能性があり、本質的にミスアライメントをさまざまな測定値で平均化することができます。（体系的なバイアスがないと仮定します...しかし、それは、例えば、より多くの情報を与えるための物理モデルがないと、どの方法にとっても問題になります）。

したがって、1つの可能性は、空間直交関数を純粋にセンサーの場所で定義することです。これらの「経験的直交関数」は、PCAを介して時空間データマトリックスで計算できます。（おそらく、センサーのサポート領域の変化を考慮に入れるために、いくつかの重み付けを使用できますが、均一な極グリッドと動径平均のターゲットが与えられた場合、これは必要ない場合があります。）

高密度の時空間計算グリッドで利用可能な、温度の「予想される」変動に利用可能な物理モデリングデータがある場合、同じPCA手順をそのデータに適用して、直交関数を導出できます。（これは通常、エンジニアリングでは「適切な直交分解」と呼ばれ、モデルの削減に使用されます。たとえば、高価な計算流体力学モデルを蒸留して、さらなる設計活動で使用できます。）

最後のコメントです。センサーデータをサポートエリア（極座標セルサイズ）で重み付けした場合、これはGLSのフレームワークにおける一種の対角共分散になります。（重み付けされたPCAは密接に関連しますが、これは予測問題により当てはまります。）

これが役に立てば幸いです！

更新：センサー分布の新しい図は、私の見解ではかなり変化しています。ディスク内部の温度を推定する場合は、単純に「ユニットディスク上の直交関数のセット」よりもはるかに多くの情報が必要になります。センサーデータの情報が少なすぎます。

実際にディスク全体の空間温度変動を推定する場合、問題をデータ同化の 1つとして扱うことが、私が理解できる唯一の合理的な方法です。ここでは、いくつかの物理学ベースの考慮事項に基づいて、空間分布のパラメトリック形式を少なくとも制約する必要があります（これらはシミュレーションから、または同様のダイナミクスを持つシステムの関連データからである可能性があります）。

私はあなたの特定のアプリケーションを知りませんが、それがこのようなものであれば、適切な事前の制約を選択するために利用できる広範な工学文献があると想像します。（この種の詳細なドメインの知識については、おそらくこれは頼むのに最適なStackExchangeサイトではありません。）

Zernlike多項式は、と依存性と直交性が既に組み込まれているので、悪い選択のように聞こえません。しかし、温度を研究しているので、おそらくより適切でよく知られている選択は、ベッセル関数です。これらは、円筒形のオブジェクト/座標系の熱流の研究で登場するため、物理的に適切である可能性があります。n番目のベッセル関数は、極依存の対応する三角関数に関連付けられた動径依存を与えます。詳細は、多くの物理学とPDEの教科書に記載されています。$r$$\theta$