均一分布から指数分布へ、およびその逆

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これはおそらく些細な質問ですが、このウィキペディアの記事や「配布の大要」ドキュメントを含め、これまでのところ私の検索は無益です。

が均一な分布を持つ場合、は指数分布に従うということですか？ $X$ $e^X$

同様に、が指数分布に従う場合、は一様分布に従うことを意味しますか？ $Y$ $ln(Y)$

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なぜそうなると思うのでしょうか？名前のため？en.wikipedia.org/wiki/…をチェックして、他の分布が指数関数にどのように関連しているかを確認してください。また

\exp (X) \notin [0, \infty)

$\exp(X) \not\in [0, \infty)$ ...

— ティム

いいえ、私は標準関数変換との類似性を追っていると思いますが、分布では物事が異なることを忘れています。

— ルチョナチョ

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一様なランダム変数をべき乗することで指数が得られるわけではなく、指数的なランダム変数の対数をとることで一様になることもありません。

ましょう上に均一であるとlet 。 $U$ $(0,1)$ $X=\exp(U)$

$F_X(x) = P(X \leq x) = P(\exp(U)\leq x) = P(U\leq \ln x) = \ln x\,,\quad 1<x<e$

したがって、。 $f_x(x) = \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}\,,\quad 1<x<e$

これは指数変量ではありません。同様の計算により、指数の対数が均一ではないことがわかります。

LET ので、標準的な指数関数である $Y$ 。 $F_Y(y)=P(Y\leq y) = 1-e^{-y}\,,\quad y>0$

してみましょう。次いで、 $V=\ln Y$ 。 $F_V(v) = P(V\leq v) = P(\ln Y\leq v) = P(Y\leq e^v) = 1-e^{-e^v}\,,\quad v<0$

これは制服ではありません。（確かにあるガンベルは、あなたがの分布呼ぶかもしれないので、確率変数を-distributed 「ひっくり返しガンベル」。） $-V$ $V$

ただし、いずれの場合も、ランダム変数の境界を考慮するだけで、より迅速に確認できます。場合均一（0,1）であることは、0と1の間そうあるとの間で嘘をと ...それは指数関数的ではありませんので。同様に、のために指数、上にある、その結果、均一な（0,1）、また実際には任意の他の均一にすることができません。 $U$ $X=\exp(U)$ $1$ $e$ $Y$ $\ln Y$ $(-\infty,\infty)$

シミュレートすることもできますし、すぐに確認できます

まず、ユニフォームをべき乗する-

[青い曲線は、上で計算した密度（示された間隔の1 / x）です...]

第二に、指数関数のログ：

私たちが見ることができるものは、均一とはほど遠いです！（以前に計算したcdfを区別すると、密度が得られますが、ここで見た形状と一致します。）

実際、逆cdfメソッドは、均一（0,1）変量の対数の負をとると標準指数変量が得られ、逆に、標準指数の負を指数化すると均一になることを示しています。[ 確率積分変換も参照]

このメソッドは、場合、ます。cdfの逆を標準のユニフォーム変換として適用すると、結果のランダム変数は分布関数持ちます。 $U=F_Y(Y)$ $Y = F^{-1}(U)$ $U$ $F_Y$

私たちは聞かせている場合均一であること（0,1）、その後、 $U$ $P(U\leq u) = u$ 。LET 。（なお、また、あなたが実際に聞かせてできた（0,1）なるように均一である、私たちはここにフルで逆CDF方法を以下しています） $Y=-\ln (1-U)$ $1-U$ $Y=-\ln U$

次いで、、は標準指数の累積分布関数です。 $P(Y\leq y) = P(-\ln (1-U) \leq y) = P( 1-U \geq e^{-y}) = P( U \leq 1-e^{-y}) = 1-e^{-y}$

[ 逆 cdf変換のこの特性は、変換が実際に指数分布を取得するために必要な理由であり、確率積分変換は、負の指数関数の負の累乗が均一に戻る理由です。] $\log$

— Glen_b -Reinstate Monica
ソース

素晴らしい答えです！ありがとう。今見えます。両方のケースでCDFを計算し、前者の場合はログの負の値を、後者の場合は逆数の絶対値を取得します。私の混乱は、標準の関数変換の観点から考えることにあると思います。これは、分布に関しては続きません。グラフの+1！

— ルチョナチョ

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あなたはほとんどそれを前から後ろに持っています。あなたが尋ねた：

「が均一な分布を持つ場合、は指数分布に従うということですか？」 $X$ $e^X$
「同様に、が指数分布に従う場合、は均一分布に従うことを意味しますか？」 $Y$ $\ln(Y)$

実際には

場合上に均一である次いで $X$ $[0,1]$ $-\log_e(X)$ $1$
がパラメーター指数分布に従う場合、 $Y$ $1$ $e^{-Y}$ $[0,1]$

より一般的に言うことができます：

が均一である場合 $X$ $[a,b]$ $-\frac1k \log_e\left(\frac{X-a}{b-a}\right)$ $k$
$Y$ $k$ $e^{-kY}$ $[0,1]$ $a+(b-a)e^{-kY}$ $[a,b]$

— ヘンリー
ソース